全国历年中考数学真题精选汇编：锐角三角函数1

1. 如图， $\text{[math]}$ 底边 $\text{[math]}$ 上的高为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 底边 $\text{[math]}$ 上的高为 $\text{[math]}$ ，则有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 以上都有可能

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2. 如图，小明利用一个锐角是 $\text{[math]}$ 的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图， $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 4

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4. 如图是一架人字梯，已知 $\text{[math]}$ 米，AC与地面BC的夹角为 $\text{[math]}$ ，则两梯脚之间的距离BC为（）

A . $\text{[math]}$ 米 B . $\text{[math]}$ 米 C . $\text{[math]}$ 米 D . $\text{[math]}$ 米

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5. 如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为 $\text{[math]}$ ，坡顶D到BC的垂直距离 $\text{[math]}$ 米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ）

A . 69.2米 B . 73.1米 C . 80.0米 D . 85.7米

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6. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为 $\text{[math]}$ ，∠CDF=15°，则阴影部分的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象相交于A、B两点，线段 $\text{[math]}$ 的中点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D.直线 $\text{[math]}$ 过原点O和点C.若直线 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 3或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . 3

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8. 如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即 $\text{[math]}$ 米，在点E处看点D的仰角为64°，则 $\text{[math]}$ 的长用三角函数表示为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 可分别绕点A，B转动，测量知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 转动到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，点C到 $\text{[math]}$ 的距离为cm.（结果保留小数点后一位，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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10. 将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O重合，AB在x轴正半轴上，且 $\text{[math]}$ ，点E在AD上， $\text{[math]}$ ，将这副三角板整体向右平移个单位，C，E两点同时落在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上.

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11. 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是.

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12. 图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上.若 $\text{[math]}$ ，则BC长为cm（结果保留根号）.

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13. 如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯 $\text{[math]}$ 的倾斜角为 $\text{[math]}$ ，在自动扶梯下方地面 $\text{[math]}$ 处测得扶梯顶端 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的距离为4 $\text{[math]}$ . 则自动扶梯的垂直高度 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ .（结果保留根号）

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14.

（1）计算： $\text{[math]}$ .

（2）解不等式： $\text{[math]}$ .

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15. 计算或化简：

（1） $\text{[math]}$ ；

（2） $\text{[math]}$ .

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16. 计算： $\text{[math]}$ .

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17.

（1）计算：2^﹣¹+ $\text{[math]}$ ﹣sin30°；
（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

（2）化简并求值：1﹣ $\text{[math]}$ ，其中a＝﹣ $\text{[math]}$ ．

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18. 计算： $\text{[math]}$

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19.

（1）计算： $\text{[math]}$ .

（2）先化简，再求值： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .

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20.

（1）计算： $\text{[math]}$ .

（2）先化简，再求值： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

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21. 一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据： $\text{[math]}$ 1.414， $\text{[math]}$ =1.732).

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22. 2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥.某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为 $\text{[math]}$ 的河床斜坡边，斜坡 $\text{[math]}$ 长为48米，在点 $\text{[math]}$ 处测得桥墩最高点 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平行于水平线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ 米，求桥墩 $\text{[math]}$ 的高（结果保留1位小数）.（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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23. 如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D.测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离.（参考数据： $\text{[math]}$ .）

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24. 乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶 $\text{[math]}$ 处观测乙居民楼楼底 $\text{[math]}$ 处的俯角是 $\text{[math]}$ ，观测乙居民楼楼顶 $\text{[math]}$ 处的仰角为 $\text{[math]}$ ，已知甲居民楼的高为 $\text{[math]}$ ，求乙居民楼的高.（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，结果精确到 $\text{[math]}$ ）

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25. “眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从 $\text{[math]}$ 处测得该建筑物顶端 $\text{[math]}$ 的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达 $\text{[math]}$ 处，测得顶端 $\text{[math]}$ 的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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26. 如图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知跑步机手柄 $\text{[math]}$ 与地面 $\text{[math]}$ 平行，踏板 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与地面 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ ，支架 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求跑步机手柄 $\text{[math]}$ 所在直线与地面 $\text{[math]}$ 之间的距离.（结果精确到 $\text{[math]}$ .参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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27. 图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图.支撑杆AB垂直于地面l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处.若∠AED＝48°，BE＝110cm，DE＝80cm，求活动杆端点D离地面的高度DF.（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）

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28. 如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”.某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔 $\text{[math]}$ 垂直于地面，在地面上选取 $\text{[math]}$ 两处分别测得 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的度数（ $\text{[math]}$ 在同一条直线上）.

数据收集：通过实地测量：地面上 $\text{[math]}$ 两点的距离为 $\text{[math]}$ .

问题解决：求宝塔 $\text{[math]}$ 的高度（结果保留一位小数）.

参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

根据上述方案及数据，请你完成求解过程.

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29. 某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于 $\text{[math]}$ 处的济南舰突然发现北偏西 $\text{[math]}$ 方向上的 $\text{[math]}$ 处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里 $\text{[math]}$ 处的西安舰，西安舰测得 $\text{[math]}$ 处位于其北偏西 $\text{[math]}$ 方向上，请问此时两舰距 $\text{[math]}$ 处的距离分别是多少？

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30. 如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为 $\text{[math]}$ ，测得小区楼房 $\text{[math]}$ 顶端点C处的俯角为 $\text{[math]}$ .已知操控者A和小区楼房 $\text{[math]}$ 之间的距离为45米，小区楼房 $\text{[math]}$ 的高度为 $\text{[math]}$ 米.

（1）求此时无人机的高度；

（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于 $\text{[math]}$ 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行.问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内.参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .计算结果保留根号）

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31. 在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐.一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图.当他由A地出发时，发现他的北偏东 $\text{[math]}$ 方向有一信号发射塔P.他由A地沿正东方向骑行 $\text{[math]}$ km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东 $\text{[math]}$ 方向，然后他由B地沿北偏东 $\text{[math]}$ 方向骑行12km到达C地.

（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；

（2）求C地与信号发射塔P之间的距离.（计算结果保留根号）

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32. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点O，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点O作 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点E，F，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形：

（2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

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33. 在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？

（1）如图①，圆锥的母线长为 $\text{[math]}$ ，B为母线 $\text{[math]}$ 的中点，点A在底面圆周上， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ .在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）.

（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成.O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上.设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h.
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为 ▲ （用含l，h的代数式表示）.

②设 $\text{[math]}$ 的长为a，点B在母线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ .圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路.

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34. 某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥，如图，该河旁有一座小山，山高 $\text{[math]}$ ，坡面 $\text{[math]}$ 的坡度 $\text{[math]}$ （注：从山顶 $\text{[math]}$ 处测得河岸 $\text{[math]}$ 和对岸 $\text{[math]}$ 的俯角分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

（1）求山脚 $\text{[math]}$ 到河岸 $\text{[math]}$ 的距离；

（2）若在此处建桥，试求河宽 $\text{[math]}$ 的长度.（结果精确到 $\text{[math]}$ ）

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35. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上的两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 左侧），且 $\text{[math]}$ .

（1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形.

（2）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长.

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36. 拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm.点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内，

（1）转动连杆BC，手臂CD，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图2，求手臂端点D离操作台 $\text{[math]}$ 的高度DE的长（精确到1cm，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）.

（2）物品在操作台 $\text{[math]}$ 上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由.

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37. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 $\text{[math]}$ 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动.如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点 $\text{[math]}$ 的位置，且A，B， $\text{[math]}$ 三点共线， $\text{[math]}$ ，B为 $\text{[math]}$ 中点，当 $\text{[math]}$ 时，伞完全张开.

（1）求 $\text{[math]}$ 的长.

（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离.（参考数据： $\text{[math]}$ ）

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38. 已知：如图，矩形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 相交于点O， $\text{[math]}$ .

（1）求矩形对角线的长.

（2）过O作 $\text{[math]}$ 于点E，连结BE.记 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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39. 我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地.小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿 $\text{[math]}$ 摆成如图1所示.已知 $\text{[math]}$ ，鱼竿尾端A离岸边 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ .海面与地面 $\text{[math]}$ 平行且相距 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ .

（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线 $\text{[math]}$ 与海面 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ ，海面下方的鱼线 $\text{[math]}$ 与海面 $\text{[math]}$ 垂直，鱼竿 $\text{[math]}$ 与地面 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ .求点O到岸边 $\text{[math]}$ 的距离；

（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角 $\text{[math]}$ ，此时鱼线被拉直，鱼线 $\text{[math]}$ ，点O恰好位于海面.求点O到岸边 $\text{[math]}$ 的距离.（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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40. 小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向， C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向.

（1）求∠C的度数；

（2）求两颗银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）.

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