天津市南开中学2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷

1. 在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -30 B . -15 C . -10 D . 5

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3. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，下列条件使 $\text{[math]}$ 有两解的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 下列命题中正确的是（）

A . 两个平面可以有且仅有一个公共点 B . 两两相交的直线一定共面 C . 如果一条直线与两个相交的平面均平行，那么这条直线与这两个相交平面的交线也平行 D . 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的任意直线平行

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5. 已知在正四面体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则角B的大小为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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7. 我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合而成，已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 为解决我校午餐拥挤问题，高一某班同学提出创想，计划修建从翔字楼四楼直达北院食堂二楼的空中走廊“南开飞云”，现结合以下设计草图提出问题：已知A ， D两点分别代表食堂与翔宇楼出入口，C点为D点正上方一标志物，AE对应水平面，现测得 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知 $\text{[math]}$ 是平面内两个夹角为 $\text{[math]}$ 的单位向量，设 $\text{[math]}$ 为同一平面内的两个向量，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 在梯形 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的任一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . $\text{[math]}$

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11. i是虚数单位，则 $\text{[math]}$ .

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12. 已知向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角大小为.

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13. 已知向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为实数，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 已知正四棱柱的体积为24，底面边长为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为.

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15. 已知 $\text{[math]}$ 为等边三角形， $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，角 $\text{[math]}$ 为锐角，向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的周长为.

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17. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，点E为棱 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值.

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18. 如图，已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为2，点 $\text{[math]}$ 为正方形内一点.

（1）如图1
（i）求 $\text{[math]}$ 的值；

（ii）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）如图2，若点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，点Q是平面上动点，且满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

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19. 南开园自然环境清幽，栖居着多种鸟类，热爱动物的南鸢同学独爱其中形貌雅致的蓝膀香鹊，于是她计划与生物兴趣小组的同学一起在翔字楼前广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到这种可爱鸟儿的飘逸瞬间，南同学设计了以下草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图象的角度为45°，即 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上，记 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

（1）南鸢同学的数学老师很欣赏她的计划，并根据她的设计草图编制了此刻你正在思考的这道期中考试试题，设AC与PQ相交于点R，当 $\text{[math]}$ 时，请你求出：
（i）线段DQ的长为多少？

（ii）线段AR的长为多少？

（2）为节省能源，南鸢同学计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积(即四边形 $\text{[math]}$ 的面积，记为S)最大，θ应取何值？S的最大值为多少？

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天津市南开中学2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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