吉林省长春市2021届高三理数质量监测一模试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ 则集合 $\text{[math]}$ 的元素个数有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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2. 函数 $\text{[math]}$ 是（）

A . 周期为 $\text{[math]}$ 的奇函数 B . 周期为 $\text{[math]}$ 的偶函数 C . 周期为 $\text{[math]}$ 的奇函数 D . 周期为 $\text{[math]}$ 的偶函数

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3. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 张老师居住的一条街上，行驶着甲、乙两路公交车，这两路公交车的数目相同，并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校，这两条公交线路对他是一样的，都可以到达学校，甲路公交车的到站时间是6:09，6:19，6:29，6:39，…，乙路公交车的到站时间是6:00，6:10，6:20，6:30，…，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是（）

A . 10% B . 50% C . 60% D . 90%

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5. 长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度 $\text{[math]}$ 的大小 $\text{[math]}$ ，水流的速度 $\text{[math]}$ 的大小 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，若游船要从 $\text{[math]}$ 航行到正北方向上位于北岸的码头 $\text{[math]}$ 处，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ 则函数在 $\text{[math]}$ 上的大致图象为（）

A . B . C . D .

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7. 将长、宽分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长方形 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 折起，得到四面体 $\text{[math]}$ ，则四面体 $\text{[math]}$ 的外接球体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，过其焦点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线分别交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点(点 $\text{[math]}$ 在第一象限)，且 $\text{[math]}$ 则直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 对于函数 $\text{[math]}$ 下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 为奇函数 B . $\text{[math]}$ 在定义域上是单调递减函数 C . $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 D . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上存在零点

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10. 如图，在面积为1的正方形 $\text{[math]}$ 内做四边形 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 以此类推，在四边形 $\text{[math]}$ 内再做四边形 $\text{[math]}$ ……，记四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 双曲线 $\text{[math]}$ 被斜率为 $\text{[math]}$ 的直线截得的弦 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ 则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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12. 已知偶函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. 若tanα=2，则sin2α=

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14. 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ .

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15. 如图，一块边长 $\text{[math]}$ 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积 $\text{[math]}$ (单位： $\text{[math]}$ )表示为 $\text{[math]}$ (单位： $\text{[math]}$ )的函数为．

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16. 已知 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ;数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．

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17. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ ⊥底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点．

（Ⅰ）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

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18. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求角 $\text{[math]}$ ;

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．

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19. 某小区超市采取有力措施保障居民正常生活的物资供应．为做好日常生活必需的甲类物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图(如图)，现从小区超市某天购买甲类物资的居民户中任意选取5户．

（Ⅰ）若将频率视为概率，求至少有两户购买量在 $\text{[math]}$ 单位： $\text{[math]}$ )的概率；

（Ⅱ）若抽取的5户中购买量在 $\text{[math]}$ 单位： $\text{[math]}$ )的户数为2户，从这5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在 $\text{[math]}$ 单位： $\text{[math]}$ )的户数为ξ，求ξ的分布列和期望．

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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与椭圆交于 $\text{[math]}$ 两点.

（1）若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）若点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

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21. 设函数 $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$

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22. 已知直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为参数)，以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$

（1）求直线 $\text{[math]}$ 的普通方程和圆 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程;

（2）若直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$

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23. 已知 $\text{[math]}$

（1）求证: $\text{[math]}$ ;

（2）求证: $\text{[math]}$ .

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吉林省长春市2021届高三理数质量监测一模试卷

一、单选题

二、填空题

三、双空题

四、解答题

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