浙教版2018-2019学年重点高中自主招生数学模拟试卷（五）

1. 某个长方体主视图是边长为1cm的正方形．沿这个正方形的对角线向垂直于正方形的方向将长方体切开，截面是一个正方形．那么这个长方体的俯视图是（）

A . B . C . D .

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2. 若不等式组 $\text{[math]}$ 无解，则实数a的取值范围是（）

A . a≥﹣1 B . a＜﹣1 C . a≤1 D . a≤﹣1

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3. 王老伯在集市上先买回5只羊，平均每只a元，稍后又买回3只羊，平均每只b元，后来他以每只 $\text{[math]}$ 的价格把羊全部卖掉了，结果发现赔了钱，赔钱的原因是（）

A . a＞b B . a＜b C . a＝b D . 与a、b的大小关系无关

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4. 一种儿童游戏，以确定这个人是“谁”，孩子们站成一个圆圈，并唱一首有九个单词的诗歌，按这个圆圈的顺时针方向连续计数，将第九个孩子淘汰出圈，接着，从下一个孩子开始继续唱，又将第九个孩子淘汰出圈…开始时，一圈有六个孩子，按顺时针方向分别记为a，b，…，f．最后剩下的这个孩子是c，则开始记数的位置是（）

A . b B . d C . e D . f

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5. 打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（）

A . B . C . D .

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6. 如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB₁C₁ ，再以对角线OB₁为边作第三个正方形OB₁B₂C₂ ，照此规律作下去，则点B₂₀₁₅的坐标为（）

A . （2¹⁰⁰⁸ ， 0） B . （2¹⁰⁰⁷ ， ﹣2¹⁰⁰⁷） C . （2¹⁰⁰⁹ ， 2¹⁰⁰⁹） D . （﹣2¹⁰⁰⁷ ， 2¹⁰⁰⁷）

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7. 关于x的方程x²﹣2mx+4＝0有两个不同的实根，并且有一个根小于1，另一个根大于3，则实数m的取值范围为（）

A . m＞ $\text{[math]}$ B . m＜﹣ $\text{[math]}$ C . m＜﹣2 或 m＞2 D . m＞ $\text{[math]}$

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8. 将正整数按如图所示的规律排列下去（第k排恰好排k个数），若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示的实数为9，17可用有序实数对（6，2）表示，则2014可用有序实数对表示为（）

A . （63，60） B . （63，61） C . （63，62） D . （63，63）

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9. 设（x²﹣x﹣2）⁴＝a₈x⁸+a₇x⁷+a₆x⁶+…+a₂x²+a₁x¹+a₀ ，对于任意的x∈R成立，则式子a₈+a₆+…+a₀的值为．

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10. 已知关于x的方程|x|（x﹣1）＝k恰有三个不同的实数根，则实数k的取值范围为．

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11. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y＝ $\text{[math]}$ （k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点A的坐标为（3，2），且⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点B的坐标为．

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12. 将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已知AB＝AC＝8cm，将△MED绕点A（M）逆时针旋转60°后（图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积是cm² ．

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13. 以A（2，3）为圆心的圆与两坐标轴共有三个公共点，则⊙A的半径是．

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14. 如图一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM沿AM翻折后B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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15. 图中两个正方形的中心重合，小正方形的顶点A、C两点在大正方形的对角形上，△HAC是等边三角形，若AB＝2，则大正方形的边长为．

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16. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF； ③△APD一定是等腰三角形； ④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝ $\text{[math]}$ EC．其中正确结论的序号是．

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17. 某班举行演讲革命故事的比赛中有一个抽奖活动．活动规则是：进入最后决赛的甲、乙两位同学，每人只有一次抽奖机会，在如图所示的翻奖牌正面的4个数字中任选一个数字，选中后可以得到该数字后面的奖品，第一人选中的数字，第二人就不能再选择该数字．

（1）求第一位抽奖的同学抽中文具与计算器的概率分别是多少？

（2）有同学认为，如果．甲先抽，那么他抽到海宝的概率会大些，你同意这种说法吗？并用列表格或画树状图的方式加以说明．

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18. 为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长60 $\text{[math]}$ 米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE（下面两个小题结果都保留根号）．

（1）若修建的斜坡BE的坡比为 $\text{[math]}$ ：1，求休闲平台DE的长是多少米？

（2）一座建筑物GH距离A点33米远（即AG＝33米），小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G，H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？

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19. 如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA＝7，AB＝4，∠COA＝60°，点P为x轴上的一个动点，点P不与点0、点A重合．连接CP，过点P作PD交AB于点D．

（1）求点B的坐标；

（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；

（3）当点P运动什么位置时，使得∠CPD＝∠OAB，且 $\text{[math]}$ ，求这时点P的坐标．

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20. 如图，矩形A′BC′O′是矩形OABC（边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的，O′点在x轴的正半轴上，B点的坐标为（1，3）．

（1）如果二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象经过O，O′两点且图象顶点M的纵坐标为﹣1，求这个二次函数的解析式；

（2）在（1）中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得△POM为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标和△POM的面积；若不存在，请说明理由；

（3）求边C′O′所在直线的解析式．

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21. 如图AB是半径为R的⊙O的直径，AC是⊙O的切线，其中A为切点．直线OC与⊙O相交于D，E两点，直线BD与AC相交于点F．

（1）求证：AD•AC＝DC•EA

（2）若sin∠CDF＝ $\text{[math]}$ ，求线段AC的长．

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22. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数位正方形数（四边形数）．

（1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为；

（2）试证明：当k为正整数时，k（k+1）（k+2）（k+3）+1必须为正方形数；

（3）记第n个k变形数位N（n，k）（k≥3）．例如N（1，3）＝1，N（2，3）＝3，N（2，4）＝4．
①试直接写出N（n，3）N（n，4）的表达式；

②通过进一步的研究发现N（n，5）＝ $\text{[math]}$ n²﹣ $\text{[math]}$ n，N（n，6）＝2n²﹣n，…，请你推测N（n，k）（k≥3）的表达式，并由此计算N（10，24）的值．

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浙教版2018-2019学年重点高中自主招生数学模拟试卷（五）

一、选择题（共8小题，4*8=32）

二、填空题（共8小题，4*8=32）

三、解答题（共6小题，56分）

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浙教版2018-2019学年重点高中自主招生数学模拟试卷（五）

一、选择题（共8小题，4*8=32）

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