如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线经过点A、B和D（4，）．

（1）求抛物线的表达式．
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ²（cm²）．
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．

阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），AB中点P的坐标为（x_p ， y_p）．由x_p﹣x₁=x₂﹣x_p ， 得x_p= ，同理y_p= ，所以AB的中点坐标为（ ， ）．由勾股定理得AB²=|x₂﹣x₁|₂+|y₂﹣y₁|² ， 所以A、B两点间的距离公式为AB= ．这两公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．解答下列问题：