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题型：解答题题类：难易度：困难

广东省江门市新会第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

对抛物线 $\text{[math]}$ ，定义：点 $\text{[math]}$ 叫做该抛物线的焦点，直线 $\text{[math]}$ 叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决以下问题：

如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，且过点 $\text{[math]}$ .

（1）、求抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式和点A坐标；

（2）、若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象.

①设 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 上任意一点， $\text{[math]}$ 轴于点N，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

②直线l过抛物线D的焦点且与抛物线D交于 $\text{[math]}$ 两点，证明：以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与抛物线D的准线相切.

举一反三

设抛物线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，且与 $\text{[math]}$ 的对称轴垂直， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的准线上一点， $\text{[math]}$ 的面积为8，则 $\text{[math]}$ （）

抛物线y²=2px（p＞0）与直线y=x+1相切，A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）（x₁≠x₂）是抛物线上两个动点，F为抛物线的焦点，且|AF|+|BF|=8．

已知斜率为1的直线l与抛物线y²=2px（p＞0）交于位于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为K₁ ， K₂ ，则K₁+K₂的取值范围是{#blank#}1{#/blank#}

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ .

已知动点 $\text{[math]}$ 到两定点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 距离之和为4（ $\text{[math]}$ ），且动点 $\text{[math]}$ 的轨迹曲线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ .

抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F ，斜率为正的直线l过点F交抛物线于A、B两点，满足 $\text{[math]}$ ．

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