- 二一组卷

题型：综合题题类：难易度：困难

广东省深圳市深圳外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作：

（1）、如图1，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和 $\text{[math]}$ 全等的三角形是____________， $\text{[math]}$ 的度数为____________．

（2）、如图2，已知 $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为直角边向 $\text{[math]}$ 两侧作等腰直角 $\text{[math]}$ 和等腰直角 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

①证明： $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在同一直线上，如图3，延长 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长， $\text{[math]}$ 的延长线与边 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积之和为20， $\text{[math]}$ 的面积为6，求线段 $\text{[math]}$ 的长．