- 二一组卷

题型：证明题题类：难易度：容易

浙江省杭州市春蕾中学2024-2025学年八年级（上）期中考试数学

如图，在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为垂足， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，请说明理由．

举一反三

使两个直角三角形全等的条件有（）

使两个直角三角形全等的条件是（　　）

已知关于x的一元二次方程（a+c）x²+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．

阅读材料：常用的分解因式方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x²﹣4y²﹣2x+4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：

x²﹣4y²﹣2x+4y＝（x²﹣4y²）﹣（2x﹣4y）

＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）

＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）

这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：

如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O.

[综合实践]请阅读下面材料完成相应的任务．

借助“鲁班尺”三等分角

如图1，“鲁班尺”也称为“木工尺”．木工师傅中有人找到了利用“鲁班尺”三等分任一角的方法．

如图2，在与尺边 $\text{[math]}$ 垂直的尺边上取一点C，使 $\text{[math]}$ 等于尺宽 $\text{[math]}$ ．如图3，任意画一个角 $\text{[math]}$ ，先用班尺画一条到 $\text{[math]}$ 的距离等于尺宽且与 $\text{[math]}$ 平行的直线l，如图4，将鲁班尺绕点O旋转并反复调整，使点A落在直线l上，点C落在 $\text{[math]}$ 上，且尺边 $\text{[math]}$ 经过点O，则沿尺边 $\text{[math]}$ 画出的直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 三等分 $\text{[math]}$ ．

[任务1]在图4中，过点A作 $\text{[math]}$ ，垂足为G．

①比较大小： $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ （填“＞、＝或＜”）．

②证明： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 三等分 $\text{[math]}$ ．

[任务2]爱动脑筋的某同学受到阅读材料中借助“鲁班尺”三等分角方法的启发，想到了通过折叠长方形纸片三等分一个已知角的方法，他的前2个操作步骤如下：

步骤1：如图5，在长方形纸片 $\text{[math]}$ 上折出任意角 $\text{[math]}$ ．将长方形 $\text{[math]}$ 对折，折痕记为 $\text{[math]}$ ，再将长方形 $\text{[math]}$ 对折，折痕记为 $\text{[math]}$ ，展开长方形；

步骤2：如图6，将长方形沿着 $\text{[math]}$ 折叠，点B的对应点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 上，再移动 $\text{[math]}$ 位置并调整使点E的对应点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ，请根据这位同学的操作过程求 $\text{[math]}$ 的度数．

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