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题型：综合题题类：难易度：困难

广东省深圳市北京师范大学南山附属学校中学部2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

（1）、发现：如图①所示，在正方形ABCD中，点E， F分别是AB， AD上的两点，连接DE， CF，DE⊥CF. 则 $\text{[math]}$

（2）、探究：如图②，在矩形ABCD中， E为AD边上一点，且 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 沿BE 翻折到 $\text{[math]}$ 处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且 $\text{[math]}$ ①求CH 的长； ②求AE的长.

（3）、拓展：如图③，在菱形ABCD中， AB=6， E为CD边上的一点且 $\text{[math]}$ 沿AE翻折得到△AFE， AF 与CD交于H且 $\text{[math]}$ 直线EF交直线BC于点 P，求 PE 的长.

举一反三

如图Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为（　　）

如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是{#blank#}1{#/blank#}．

如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和4，∠A=120°．则阴影部分面积是{#blank#}1{#/blank#}．（结果保留根号）

已知菱形A₁B₁C₁D₁的边长为2，且∠A₁B₁C₁=60°，对角线A₁C₁ ， B₁D₁相较于点O，以点O为坐标原点，分别以OA₁ ， OB₁所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以B₁D₁为对角线作菱形B₁C₂D₁A₂ ，使得∠B₁A₂D₁=60°；再以A₂C₂为对角线作菱形A₂B₂C₂D₂ ，使得∠A₂B₂C₂=60°；再以B₂D₂为对角线作菱形B₂C₃D₂A₃ ，使得∠B₂A₃D₂=60°…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A₁ ， A₂ ， A₃ ， …，A_n ，则点A₂₀₁₈的坐标为{#blank#}1{#/blank#}．

如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形，点D为BC边上一点， $\text{[math]}$ ，以点D为顶点作正方形DEFG，且 $\text{[math]}$ ，连接AE，AG.若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为{#blank#}1{#/blank#}.

如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．

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