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题型：解答题题类：难易度：困难

湖南省醴陵市渌江中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

如图，已知直线 $\text{[math]}$ 分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，过点P作 $\text{[math]}$ 轴于点C，交抛物线于点D．

（1）、若抛物线的解析式为 $\text{[math]}$ ，设其顶点为M，其对称轴交 $\text{[math]}$ 于点N．

①求点M和点N的坐标；

②在抛物线的对称轴上找一点Q，使 $\text{[math]}$ 的值最大，请直接写出点Q的坐标；

③是否存在点P，使四边形 $\text{[math]}$ 为菱形？并说明理由；

（2）、当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

举一反三

已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ （即cosC= $\text{[math]}$ ），则AC边上的中线长是{#blank#}1{#/blank#}．

若函数的图象经过点A（1，2），点B（2，1），写出一个符合条件的函数表达式{#blank#}1{#/blank#}．

如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF= $\text{[math]}$ ∠CAB．

如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在坐标轴上，点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ，将正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转角度 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，得到正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，A(0，6)，D(4，0)，将菱形ABCD先向左平移5个单位长度，再向下平移8个单位长度，然后在坐标平面内绕点O旋转90°，则边AB中点的对应点的坐标为{#blank#}1{#/blank#}

如图，直线y=﹣ $\text{[math]}$ x+8与x轴，y轴分别交于点A和B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则直线AM的解析式为{#blank#}1{#/blank#}.

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