- 二一组卷

题型：解答题题类：难易度：困难

广东省东莞市东莞中学松山湖学校2023-2024学年高一下学期第二次段考数学试题

类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 构成的三面角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

（1）、如图2，四棱柱 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的余弦值；

（2）、当 $\text{[math]}$ 时，证明以上三面角余弦定理；

（3）、如图3，斜三棱柱 $\text{[math]}$ 中侧面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记二面角 $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的大小分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试猜想正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明.

举一反三

已知命题P：“存在 $\text{[math]}$ 命题q：“ $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ 则A>B。则下列命题为真命题的是（）

在△ABC中，AB=AC，M为AC的中点，BM= $\text{[math]}$ ，则△ABC面积的最大值是（　　）

在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，CA=CB，侧面ABB₁A₁是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA_l ， A₁B₁上，且AE= $\text{[math]}$ ，A₁F= $\text{[math]}$ ，CE⊥EF，M为AB中点

（Ⅰ）证明：EF⊥平面CME；

（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC₁与平面CEF所成角的正弦值．

如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为（）

$\text{[math]}$ 的内角A、B、C所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的中点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积为{#blank#}1{#/blank#}．

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