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题型：解答题题类：难易度：困难

广东省金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学四校2023-2024学年高二下学期第一次联考数学试卷

已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点和椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点相同，点 $\text{[math]}$ 的坐标分别为 $\text{[math]}$ 是抛物线上的点，设直线 $\text{[math]}$ 与抛物线的另一交点分别为 $\text{[math]}$ ．

（1）、求抛物线的标准方程；

（2）、求证：当点 $\text{[math]}$ 在抛物线上变动时（只要点 $\text{[math]}$ 存在，且点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 不重合），直线 $\text{[math]}$ 恒过定点，并求出定点坐标．

举一反三

如图，焦点在x轴的椭圆，离心率e= $\text{[math]}$ ，且过点A（﹣2，1），由椭圆上异于点A的P点发出的光线射到A点处被直线y=1反射后交椭圆于Q点（Q点与P点不重合）．

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x²=2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣ $\text{[math]}$ ，0），B（ $\text{[math]}$ ），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣ $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．若点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P的纵坐标的取值范围．

在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，焦距为2．（14分）

（Ⅰ）求椭圆E的方程．

（Ⅱ）如图，该直线l：y=k₁x﹣ $\text{[math]}$ 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k₂ ，且看k₁k₂₌ $\text{[math]}$ ，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．

已知直线 $\text{[math]}$ 过椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为椭圆 $\text{[math]}$ 的上顶点，且 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上的射影依次为 $\text{[math]}$ .

已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是椭圆Γ： $\text{[math]}$ 上两点，O是坐标原点.

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