- 二一组卷

题型：实践探究题题类：难易度：困难

广东省深圳市东湖中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

【初步感知】

（1）如图1，已知 $\text{[math]}$ 为等边三角形，点D为边 $\text{[math]}$ 上一动点（点D不与点B，点C重合）．以 $\text{[math]}$ 为边向右侧作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；

【类比探究】

（2）如图2，若点D在边 $\text{[math]}$ 的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系为__________，请证明你的结论．

【拓展应用】

（3）如图3，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P是边 $\text{[math]}$ 上一定点且 $\text{[math]}$ ，若点D为射线 $\text{[math]}$ 上动点，以 $\text{[math]}$ 为边向右侧作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．请问： $\text{[math]}$ 是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．

举一反三

勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，1955年希腊发型了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在如图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQO使得∠O=90°，点Q在在直角坐标系y轴正半轴上，点P在x轴正半轴上，点O与原点重合，∠OQP=60°，点H在边QO上，点D、E在边PO上，点G、F在边PQ上，那么点P坐标为{#blank#}1{#/blank#}．

如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.

如图，矩形ABCD对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，则矩形的对角线AC为（）

如图，在菱形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将菱形纸片翻折，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 处，折痕为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的值为( )

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的平分线相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的周长为{#blank#}1{#/blank#}．

【问题初探】

（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到 $\text{[math]}$ ．

请你参考小颖的解题思路写出证明过程．

【类比分析】

（2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

【学以致用】

（3）如图4，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D是 $\text{[math]}$ 边的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 边相交于点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 边相交于点 $\text{[math]}$ ．请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的值：___________．

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