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题型：实践探究题题类：难易度：困难

广东省惠州市惠城区培英学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

综合与实践

综合与实践课上，老师带领同学们以“正方形和矩形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）、操作判断

操作一：将正方形纸片 $\text{[math]}$ 依次沿对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 对折，把纸片展平，折痕的交点为 $\text{[math]}$ ；

操作二：在 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处，然后延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

如图1是经过以上两次操作后得到的图形，则线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系是 ▲ ．

（2）、迁移思考

图2是把矩形纸片 $\text{[math]}$ 按照（1）中的操作一和操作二得到的图形．请判断 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三条线段之间有什么数量关系？并仅就图2证明你的判断．

（3）、拓展探索

图2中，若点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的三等分点，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

举一反三

如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，求直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径” 则该圆的直径为（）

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针得到 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对应点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

如图，P为△ABC的边AB、AC的中垂线的交点，∠A=50°，则∠BPC的度数为（）

如图，在△ABC中， $\text{[math]}$ ，DE是AB的垂直平分线，∠BAD：∠CAB=1：3，则∠B＝{#blank#}1{#/blank#}．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点.

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