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题型：解答题题类：难易度：困难

广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学试卷

古希腊数学家托勒密对凸四边形 $\text{[math]}$ 凸四边形是指没有角度大于 $\text{[math]}$ 的四边形 $\text{[math]}$ 进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：

如图，在凸四边形 $\text{[math]}$ 中，

（1）、若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， (图1)，求线段 $\text{[math]}$ 长度的最大值；

（2）、若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，（图2），求四边形 $\text{[math]}$ 面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

举一反三

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）若a=1， $\text{[math]}$ ．求S_△_ABC ．

已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若 $\text{[math]}$ ，则△ABC的面积为{#blank#}1{#/blank#}．

设锐角三角形 $\text{[math]}$ 的三个内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为{#blank#}1{#/blank#}．

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两个根，且 $\text{[math]}$ ．

在 $\text{[math]}$ 中，角A ， B ， C对应的边分别为a ， b ， c ，若 $\text{[math]}$ ，且__________．

现有一空地，将其修建成如图所示的八边形 $\text{[math]}$ 形状的公园．已知图中四边形 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）是周长为4的矩形， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 均关于直线 $\text{[math]}$ 对称，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．根据规划，图中四边形 $\text{[math]}$ 区域所示的地面将硬化，剩余区域即图中阴影部分将种植树木和草皮．

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