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题型：解答题题类：难易度：困难

湖北省荆楚百校联盟考试2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，连接BC， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是此抛物线的顶点．

（1）、求抛物线的解析式及点D坐标；

（2）、点E是第一象限内抛物线上的动点，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值及此时点E的坐标；

（3）、在（2）的条件下，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ 是否存在最小值，若存在，请直接写出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

举一反三

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

（2）如图①，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E．是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）如图②，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB．四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动．设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式．

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A （﹣1，2）、B （0，﹣1）、C （1，﹣2）．

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为P（﹣2，3），且过A（﹣3，0），求抛物线的解析式．

如图2 - 4所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm²)．

如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的值和图象的顶点坐标．

（2）点 $\text{[math]}$ 在该二次函数图象上.

①当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

②若 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离小于2，请根据图象直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围.

已知点 $\text{[math]}$ 都在二次函数 $\text{[math]}$ 的图象上，其中 $\text{[math]}$ ．

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