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题型：解答题题类：难易度：困难

湖北省荆楚百校联盟考试2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，连接BC， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是此抛物线的顶点．

（1）、求抛物线的解析式及点D坐标；

（2）、点E是第一象限内抛物线上的动点，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值及此时点E的坐标；

（3）、在（2）的条件下，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ 是否存在最小值，若存在，请直接写出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

举一反三

如图，经过点C（0，﹣4）的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣2，0），B两点

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx²+nx相交于A（1，3 ），B（4，0）两点．

如图，已知AB=8，P为线段AB上的一个动点，以AP为边作正三角形APC，延长PC到点E使PE=PB，D，F分别是AC，BE的中点.当点P在线段AB上移动时，点D，F之间的距离的最小值为（）

如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，且抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 点，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

如图1，抛物线y＝ax²﹣2x﹣3与x轴交于点A、B（3，0），交y轴于点C

如图，抛物线y＝ax²﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B两点，点C（6，4）在抛物线上．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标；

（3）如图2，直线y＝mx+n与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若OM•ON＝3．求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标．

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