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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

北京市海淀区2020-2021学年七年级下学期数学期中试卷（五四学制）

对于△ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点M₁ ， M₂ ， M₃ ， ……，M_n都在△ABC的边上，且PM₁＝PM₂＝PM₃＝……＝PM_n ，那么称点M₁ ， M₂ ， M₃ ， ……，M_n为△ABC关于点P的等距点，线段PM₁ ， PM₂ ， PM₃ ， ……，PM_n为△ABC关于点P的等距线段．

（1）、如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，点P是BC的中点．

①点B，C ▲ △ABC关于点P的等距点，线段PA，PB ▲ △ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）

②△ABC关于点P的两个等距点M₁ ， M₂分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM₁ ， PM₂；

（2）、△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是△ABC关于点P的等距点，且PC＝1，求线段DC的长；

（3）、如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．若BC＝a，直接写出PC长的取值范围．（用含a的式子表示）

举一反三

在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b=2a-b.已知不等式x△k≥1的解集表示在数轴上如图所示，则k的值是{#blank#}1{#/blank#}

我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解： $\text{[math]}$ （p， q是正整数，且 $\text{[math]}$ ），在n的所有这种分解中，如果p， q两因数之差的绝对值最小，我们就称 $\text{[math]}$ 是n的最佳分解，并规定： $\text{[math]}$ ．

例如12可以分解成 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 是12的最佳分解，所以 $\text{[math]}$ ．

对于任何实数，我们规定运算 $\text{[math]}$ ，如： $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.

在整数集上定义一种运算：x $\text{[math]}$ y=xy+1，则对所有的x，y，z，(x $\text{[math]}$ y) $\text{[math]}$ z=(z $\text{[math]}$ xy)+{#blank#}1{#/blank#}．

历史上数学家欧拉最先把关于 $\text{[math]}$ 的多项式用记号 $\text{[math]}$ 来表示，把 $\text{[math]}$ 等于某数 $\text{[math]}$ 时的多项式的值用 $\text{[math]}$ 来表示.例如，对于多项式 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，多项式的值为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为{#blank#}1{#/blank#}.

如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6），点B（8，0）．动点P从A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒．

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