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题型：综合题题类：模拟题难易度：困难

江西省赣州市南康区2021年中考数学一模试卷

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点D在直线 $\text{[math]}$ 上（不与点B，C重合），连接 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转90°得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，F，G分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）、（特例感知）如图1，当点D是 $\text{[math]}$ 的中点时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是． $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的位置关系是．

（2）、（猜想论证）当点D在线段 $\text{[math]}$ 上且不是 $\text{[math]}$ 的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？

①请在图2中补全图形；

②若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）、（拓展应用）若 $\text{[math]}$ ，其他条件不变，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 是等边三角形时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的面积．

举一反三

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点G.以 $\text{[math]}$ 为边作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点N，交 $\text{[math]}$ 于点M，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.在下列说法中：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .正确的个数有（）

如图，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动速度为xcm/s，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，则相应的x、t的值为（）

如图（1），在平面直角坐标系中．已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 平移得到线段 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上．

如图所示，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ cm， $\text{[math]}$ cm，点P从点C开始沿CA边向点A以4cm/s的速度运动，同时，另一点Q从点C开始以3cm/s的速度沿CB边向点B运动．

已知△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，CD为AB边上的高．动点P从点A出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为t s．

（1）求CD的长；

（2）t为何值时，△ACP是等腰三角形？

（3）若M为BC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M，N使得AM+MN 的值最小？如果有，请直接写出最小值，如果没有，请说明理由．

【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点.

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