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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

【bq】湖北省武汉市洪山区2019-2020学年七年级上学期数学期末考试试卷

已知在等边三角形 $\text{[math]}$ 的三边上，分别取点 $\text{[math]}$ .

（1）、如图1，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

（2）、如图2，若 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

（3）、如图3，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为等边三角形.

举一反三

已知在 $\text{[math]}$ 中，BC=6，AC= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ A=30°，则AB的长是{#blank#}1{#/blank#}.

如图，AB是半圆O的直径，且AB＝8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是{#blank#}1{#/blank#}．（结果保留π）

在三角形纸片 $\text{[math]}$ （如图1）中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .小霞用 $\text{[math]}$ 张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）.

问题背景（1）如图1， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

尝试应用（2）如图2，点D是等边 $\text{[math]}$ 内一点，连接 $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于F，若 $\text{[math]}$ ，求证：点F是 $\text{[math]}$ 的中点．

拓展应用（3）如图3，已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为底边在 $\text{[math]}$ 外作等腰三角形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为________

如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在x轴上，A，B两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点C的坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为x轴上一动点.

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，如图①，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的角平分线时，在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，易证 $\text{[math]}$ ．

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