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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

广东省深圳市南山区北大附中南山分校2020-2021学年八年级上学期数学10月月考试卷

我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．

（1）、特例感知

等腰直角三角形勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；

（2）、如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若 $\text{[math]}$ ，试求线段CD的长度．

（3）、深入探究

如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB ， CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；

（4）、推广应用

如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中 $\text{[math]}$ ，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E ．若 $\text{[math]}$ ，试求线段DE的长度．

举一反三

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=4，D是BC边上一动点，G是BC边上的一动点，GE∥AD分别交AC、BA或其延长线于F、E两点

已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：

对于正数x，规定f(x)＝ $\text{[math]}$ ，如：f(2)＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，则f(2018)＋f(2017)＋f(2016)＋…＋f(2)＋f(1)＋f( $\text{[math]}$ )＋f( $\text{[math]}$ )＋…＋f( $\text{[math]}$ )＋f( $\text{[math]}$ )＋f( $\text{[math]}$ )＝{#blank#}1{#/blank#}

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A´B´C´，其中点B的运动路径为 $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分的面积为{#blank#}1{#/blank#}．

对a，b定义运算“☆”如下：a☆b= $\text{[math]}$ ，已知3☆x=75，则有理数x的值。

小聪发现美宜佳超市装的是自动门，自动门上方装有一个感应器，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开.如图，点 $\text{[math]}$ 处装着一个感应器，感应器的最大感应距离恰好等于它离地的高度 $\text{[math]}$ ，已知小聪的身高为1.8米，当他走到离门2.4米时（ $\text{[math]}$ 米），感应门自动打开，即 $\text{[math]}$ ，求感应器的离地高度 $\text{[math]}$ 为多少米？

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