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题型：解答题题类：常考题难易度：普通

抽象函数及其应用+++3

已知函数f（x）定义域为[﹣1，1]，若对于任意的x，y∈[﹣1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0．

（1）、证明函数f（x）是奇函数；

（2）、讨论函数f（x）在区间[﹣1，1]上的单调性．

举一反三

已知函数f（x）的定义域为 $\text{[math]}$ 且对定义域中任意x均有： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则g（x）（　）

已知：定义在R上的函数f（x），对于任意实数a，b都满足f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）≠0，当x＞0时，f（x）＞1．

（Ⅰ）求f（0）的值；

（Ⅱ）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；

（Ⅲ）求不等式f（x²+x）＜ $\text{[math]}$ 的解集．

已知函数f（x）=lg（3+x）+lg（3﹣x）．

（1）判断f（x）的奇偶性并加以证明；

（2）判断f（x）的单调性（不需要证明）；

（3）解关于m的不等式．f（m）﹣f（m+1）＜0．

已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数x，y满足：f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），a_n= $\text{[math]}$ （n∈N^*），b_n= $\text{[math]}$ （n∈N^*），考查下列结论：

①f（1）=1；②f（x）为奇函数；③数列{a_n}为等差数列；④数列{b_n}为等比数列．

以上命题正确的是{#blank#}1{#/blank#}．

已知函数f（x）对任意实数x，y满足f（x）+f（y）=f（x+y）+3，f（3）=6，当x＞0时，f（x）＞3，那么，当f（a²﹣a﹣5）＜4时，实数a的取值范围是{#blank#}1{#/blank#}．

已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x²﹣（a+4）x+a．

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