问题：你能比较20052006和20062005的大小吗？为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较nn+1和（n+1）n的大小（n为正整数），我们从n=1，n=2，n=3…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论．

题型：综合题题类：常考题难易度：困难

2016-2017学年浙江省杭州市淳安县睿达实验学校七年级上学期期中数学试卷

问题：你能比较2005²⁰⁰⁶和2006²⁰⁰⁵的大小吗？

为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n为正整数），我们从n=1，n=2，n=3…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论．

（1）、通过计算，比较下列各组数字大小

①1²2¹②2³3²③3⁴4³

④4⁵5⁴⑤5⁶6⁵⑥6⁷7⁶

…

（2）、根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较下列两个数的大小 2005²⁰⁰⁶2006²⁰⁰⁵（填“＞”，“＜”，“=”）

（3）、把第（1）题的结果经过归纳，你能得出什么结论？

举一反三

解：设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁴①，将等式两边同时乘以2得

2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵②

将②﹣①得：S=2²⁰¹⁵﹣1，即S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁴=2²⁰¹⁵﹣1

请你仿照此法计算：（1）1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰

（2）1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ（其中n为正整数）

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