正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．

（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；

（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．

如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．

（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边和对角线上， ， 点G，H分别在边和上， ， 求证：；

【尝试应用】

（2）如图2，在矩形中， ， 点E，F分别在边和对角线上， ， 求的长；

【拓展提高】

（3）如图3，在平行四边形中， ， 点E，F分别在边和对角线上， ， ， 试求的长．