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题型：解答题题类：模拟题难易度：困难

山西省太原市2019届高三理数模拟试卷（一)

为方便市民出行，倡导低碳出行.某市公交公司推出利用支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，在推广期内采用随机优惠鼓励市民扫码支付乘车.该公司某线路公交车队统计了活动推广期第一周内使用扫码支付的情况，其中 $\text{[math]}$ （单位：天）表示活动推出的天次， $\text{[math]}$ （单位：十人次）表示当天使用扫码支付的人次，整理后得到如图所示的统计表1和散点图.

表1：

x	第1天	第2天	第3天	第4天	第5天	第6天	第7天
y	7	12	20	33	54	90	148

参考公式：对于一组数据 $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\text{[math]}$ 参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）、由散点图分析后，可用 $\text{[math]}$ 作为该线路公交车在活动推广期使用扫码支付的人次 $\text{[math]}$ 关于活动推出天次 $\text{[math]}$ 的回归方程，根据表2的数据，求此回归方程，并预报第8天使用扫码支付的人次（精确到整数）.

表2：

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
4	52	3.5	140	2069	112

表中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（2）、推广期结束后，该车队对此期间乘客的支付情况进行统计，结果如表3.

表3：

支付方式	现金	乘车卡	扫码
频率	10%	60%	30%
优惠方式	无优惠	按7折支付	随机优惠(见下面统计结果)

统计结果显示，扫码支付中享受5折支付的频率为 $\text{[math]}$ ，享受7折支付的频率为 $\text{[math]}$ ，享受9折支付的频率为 $\text{[math]}$ .已知该线路公交车票价为1元，将上述频率作为相应事件发生的概率，记随机变量 $\text{[math]}$ 为在活动期间该线路公交车搭载乘客一次的收入（单位：元），求 $\text{[math]}$ 的分布列和期望.

举一反三

某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等．

（1）求某同学至少选修1门自然科学课程的概率；

（2）已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是 $\text{[math]}$ ，自然科学课程的概率都是 $\text{[math]}$ ，且各门课程通过与否相互独立．用ξ表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．

某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不超过2小时收费100，超过2小时的部分按每小时100收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次．设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且两人租用的时间都不超过4小时．

（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；

（Ⅱ）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．

一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．

某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

广告费用x（万元）	4	2	3	5
销售额y（万元）	49	26	39	54

根据上表可得回归方程 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）

某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题．已知这6道问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为 $\text{[math]}$ ，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的．

已知某一组散点数据对应的线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，数据中心点为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的预报值是（）

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