2016-2017学年广东省深圳市福田中学高二上学期期中数学试卷（理科）

修改时间：2024-07-12 浏览次数：963 类型：期中考试编辑

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一、选择题

1. 设命题p：∀x∈R，x²+1＞0，则￢p为（）

A . ∃x₀∈R，x₀²+1＞0 B . ∃x₀∈R，x₀²+1≤0 C . ∃x₀∈R，x₀²+1＜0 D . ∀x₀∈R，x₀²+1≤0

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2. 已知命题p：x＞y；则﹣x＜﹣y；命题q：若x＜y；则x²＜y²；在命题 ①p∧q，②p∨q，③p∧（￢q），④（￢p）∨q中，真命题是（）

A . ①③ B . ①④ C . ②③ D . ②④

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3. 下列有关命题的叙述，错误的个数为（）
①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
②“x＞5”是“x²﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件
③命题p：∃x∈R，使得x²+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x²+x﹣1≥0
④命题“若x²﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x²﹣3x+2≠0”

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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4. 设{a_n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a_n}为递增数列”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. 方程 $\text{[math]}$ 的图象是双曲线，则k取值范围是（）

A . k＜1 B . k＞2 C . k＜1或k＞2 D . 1＜k＜2

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6. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，过F₂的直线l交C于A、B两点，若△AF₁B的周长为4 $\text{[math]}$ ，则C的方程为（）

A . $\text{[math]}$ =1 B . $\text{[math]}$ +y²=1 C . $\text{[math]}$ =1 D . $\text{[math]}$ =1

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7. 已知F为双曲线C：x²﹣my²=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ m D . 3m

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8. 若实数k满足0＜k＜9，则曲线 $\text{[math]}$ =1与曲线 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1的（）

A . 焦距相等 B . 实半轴长相等 C . 虚半轴长相等 D . 离心率相等

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9. 设F为抛物线C：y²=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F₁、F₂ ，点A在C上，若|F₁A|=2|F₂A|，则cos∠AF₂F₁=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 如图，在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M为AC与BD的交点，若 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．则下列向量中与 $\text{[math]}$ 相等的向量是（）

A . ﹣ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . ﹣ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$

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12. 已知双曲线 $\text{[math]}$ =1（b∈N^*）的两个焦点F₁ ， F₂ ，点P是双曲线上一点，|OP|＜5，|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等比数列，则双曲线的离心率为（）

A . 2 B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是．

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14. 已知p：“∀x∈[1，2]，x²﹣a≥0”，q：“∃x₀∈R，使x₀²+2ax₀+2﹣a=0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是．

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15. 已知P（4，﹣1），F为抛物线y²=8x的焦点，M为此抛物线上的点，且使|MP|+|MF|的值最小，则M点的坐标为．

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16. 过点M（1，1）作斜率为﹣ $\text{[math]}$ 的直线与椭圆C： $\text{[math]}$ （a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．

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三、解答题

17. 已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点，而且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点 $\text{[math]}$ ，求抛物线和双曲线的方程．

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18. 已知命题p：关于x的方程x²﹣ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x²+ax+4在[3，+∞）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．

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19. 已知动点P与双曲线 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1的两个焦点F₁ ， F₂所连线段的和为6 $\text{[math]}$ ，

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）若 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，求点P的坐标；

（3）求角∠F₁PF₂余弦值的最小值．

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20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

（1）试用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示出向量 $\text{[math]}$ ；

（2）求BM的长．

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21. 已知，椭圆C过点A $\text{[math]}$ ，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．

（1）求椭圆C的方程；

（2） E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

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22. 已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x²+3y²=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．

（1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；

（2）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．

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2016-2017学年广东省深圳市福田中学高二上学期期中数学试卷（理科）

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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