广东省深圳市龙岗区布吉高级中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷

修改时间：2024-12-10 浏览次数：5 类型：期中考试编辑

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一、单选题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1. 在空间四边形 $\text{[math]}$ 中，下列表达式化简结果与 $\text{[math]}$ 相等的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知点 $\text{[math]}$ ，则以 $\text{[math]}$ 为直径的圆的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 圆 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 的公切条数为（）

A . 2条 B . 1条 C . 3条 D . 4条

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5. 如图，已知 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点， $\text{[math]}$ 是椭圆上的一点， $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ （O为原点），则该椭圆的离心率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 圆 $\text{[math]}$ 的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且 $\text{[math]}$ ，现用向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示向量 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则x，y，z的值分别为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知点 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 相交，则a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题（共3小题，每小题6分，满分18分，部分对得部分分）

9. 已知直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 恒过点 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 存在 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$

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10. 下面四个结论正确的是（）

A . 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为钝角 B . 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量是 $\text{[math]}$ C . 若直线 $\text{[math]}$ 经过第三象限，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点不共线，对于空间任意一点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点共面

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11. 在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，D在线段 $\text{[math]}$ 上，则下面说法中正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，若M是 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离是 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角最小时，线段 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$

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三、填空题（共3小题，每题5分，满分15分）

12. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为坐标原点，则 $\text{[math]}$ ．

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13. 在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为．

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14. 如图，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，点P是以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长 $\text{[math]}$ 与椭圆交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率为.

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四、解答题（共5小题，满分77分）

15. 已知点 $\text{[math]}$ 为坐标原点，向量 $\text{[math]}$ ，计算：

（1）求向量 $\text{[math]}$ 同向的单位向量 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

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16. 如图所示，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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17. 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，设动点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ .

（1）求曲线 $\text{[math]}$ 的标准方程；

（2）求过点 $\text{[math]}$ 且与曲线 $\text{[math]}$ 相切的直线的方程.

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18. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 长轴长为4，且椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，其左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）设斜率为 $\text{[math]}$ 且过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的面积．

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19. 过点 $\text{[math]}$ 作斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 定积直线或 $\text{[math]}$ 定积直线．

（1）已知直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，试问是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 定积直线？请说明理由．

（2）在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为坐标原点，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 均在第一象限，且点 $\text{[math]}$ 在二次函数 $\text{[math]}$ 的图象上．若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 定积直线，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 定积直线，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 定积直线，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

（3）已知直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 定积直线，设点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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广东省深圳市龙岗区布吉高级中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷

一、单选题（共8小题，每小题5分，满分40分）

二、多选题（共3小题，每小题6分，满分18分，部分对得部分分）

三、填空题（共3小题，每题5分，满分15分）

四、解答题（共5小题，满分77分）

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