2013年高考理数真题试卷（山东卷）

修改时间：2021-05-20 浏览次数：1089 类型：高考真卷编辑

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一、选择题

1. 复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数 $\text{[math]}$ 为（）

A . 2+i B . 2﹣i C . 5+i D . 5﹣i

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2. 已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（）

A . 1 B . 3 C . 5 D . 9

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3. 已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时， $\text{[math]}$ ，则f（﹣1）=（）

A . ﹣2 B . 0 C . 1 D . 2

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4. 已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，体积为 $\text{[math]}$ ，底面是边长为 $\text{[math]}$ 的正三角形，若P为底面A₁B₁C₁的中心，则PA与平面A₁B₁C₁所成角的大小为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移 $\text{[math]}$ 个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 0 D . - $\text{[math]}$

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6. 在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组 $\text{[math]}$ 所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）

A . 2 B . 1 C . - $\text{[math]}$ D . - $\text{[math]}$

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7. 给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. 函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）

A . B . C . D .

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9. 过点（3，1）作圆（x﹣1）²+y²=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）

A . 2x+y﹣3=0 B . 2x﹣y﹣3=0 C . 4x﹣y﹣3=0 D . 4x+y﹣3=0

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10. 用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）

A . 243 B . 252 C . 261 D . 279

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11. 抛物线C₁： $\text{[math]}$ 的焦点与双曲线C₂： $\text{[math]}$ 的右焦点的连线交C₁于第一象限的点M．若C₁在点M处的切线平行于C₂的一条渐近线，则p=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 设正实数x，y，z满足x²﹣3xy+4y²﹣z=0．则当 $\text{[math]}$ 取得最大值时， $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 0 B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 3

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二、填空题

13. 执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0.25，则输出的n值为．

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14. 在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为．

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15. 已知向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为120°，且| $\text{[math]}$ |=3，| $\text{[math]}$ |=2．若 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，则实数λ=．

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16. 定义“正对数”：ln⁺x= $\text{[math]}$ ，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln⁺（a^b）=bln⁺a；
②若a＞0，b＞0，则ln⁺（ab）=ln⁺a+ln⁺b；
③若a＞0，b＞0，则 $\text{[math]}$ ；
④若a＞0，b＞0，则ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2．
其中的真命题有（写出所有真命题的序号）

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三、解答题

17. 设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2， $\text{[math]}$ ．

（1）求a，c的值；

（2）求sin（A﹣B）的值．

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18. 如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．

（1）求证：AB∥GH；

（2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．

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19. 甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是 $\text{[math]}$ ，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 $\text{[math]}$ ．设各局比赛结果相互独立．

（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；

（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．

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20. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且S₄=4S₂ ， a_2n=2a_n+1．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n且 $\text{[math]}$ （λ为常数）．令c_n=b_2n（n∈N^*）求数列{c_n}的前n项和R_n ．

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21. 设函数 $\text{[math]}$ ．

（1）求f（x）的单调区间及最大值；

（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．

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22. 椭圆C： $\text{[math]}$ 的左右焦点分别是F₁ ， F₂ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF₁ ， PF₂ ，设∠F₁PF₂的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF₁ ， PF₂的斜率分别为k₁ ， k₂ ，若k≠0，试证明 $\text{[math]}$ 为定值，并求出这个定值．

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2013年高考理数真题试卷（山东卷）

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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