山东省淄博市2021届高三数学二模试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ （）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）．

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 1

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3. 已知 $\text{[math]}$ 为等比数列， $\text{[math]}$ 为其前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ，则公比 $\text{[math]}$ （）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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4. 若圆台的上、下底面面积分别为4，16，则圆台中截面的面积为（）．

A . 10 B . 8 C . 9 D . $\text{[math]}$

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5. 函数 $\text{[math]}$ 的部分图像大致为（）．

A . B . C . D .

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6. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为正实数，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）．

A . 充要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分不必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. 碳70 $\text{[math]}$ 是一种碳原子族，可高效杀灭癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为（）．

A . 12 B . 25 C . 30 D . 36

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9. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个不同的平面， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两条不同的直线，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，给出下列四个论断：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题．其中正确的命题是（）．

A . ①②③⇒④ B . ①③④⇒② C . ①②④⇒③ D . ②③④⇒①

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10. 设椭圆 $\text{[math]}$ 的的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的动点，则下列结论正确的是（）．

A . 离心率 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最大值为3 C . $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值为2

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11. 已知 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 记 $\text{[math]}$ 表示与实数 $\text{[math]}$ 最接近的整数，数列 $\text{[math]}$ 通项公式为 $\text{[math]}$ ，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的夹角为．

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14. 某班40名学生，在一次考试中统计所得平均分为80分，方差为70，后来发现有两名同学的成绩有损，甲实得80分错记为60分，乙实得70分错记为90分，则更正后的方差为．

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15. 已知 $\text{[math]}$ 展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为11，当 $\text{[math]}$ 的系数取最小值时， $\text{[math]}$ 的系数是．

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16. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ 的左右焦点， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的半焦距，点 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上一点，线段 $\text{[math]}$ 交双曲线 $\text{[math]}$ 的右支于点 $\text{[math]}$ ，且有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率是．

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17. 在① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列，③ $\text{[math]}$ ．这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题．
问题：已知等差数列 $\text{[math]}$ 的公差为 $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且满足______．

（1）求 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
注：如果选择多种情况分别解答，按第一种解答计分．

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18. 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．

（1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；

（2）延长 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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19. 如图所示，已知在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的菱形， $\text{[math]}$ ，侧棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的平面与侧棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证：直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成二面角的正弦值．

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20. 某市在司法知识宣传周活动中，举办了一场司法知识网上答题考试，要求本市所有机关、企事业单位工作人员均要参加考试，试题满分为100分，考试成绩大于等于90分的为优秀．考试结束后，组织部门从所有参加考试的人员中随机抽取了200人的成绩作为统计样本，得到样本平均数为82、方差为64．假设该市机关、企事业单位工作人员有20万人，考试成绩 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ．

（1）估计该市此次司法考试成绩优秀者的人数有多少万人？

（2）该市组织部门为调动机关、企事业单位工作人员学习司法知识的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加考试者，均可参与网上“抽奖赢手机流量”活动，并且成绩优秀者可有两次抽奖机会，其余参加者抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数 $\text{[math]}$ ，若产生的两位数的数字相同，则可获赠手机流量5G ，否则获赠手机流量1G ．假设参加考试的所有人均参加了抽奖活动，试估计此次抽奖活动赠予的手机流量总共有多少G？
参考数据：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；

（2）若函数 $\text{[math]}$ 恰好有一个零点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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22. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的标准方程是 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且满足 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的标准方程及准线方程；

（2）设垂直于 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 和抛物线 $\text{[math]}$ 有两个不同的公共点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在以 $\text{[math]}$ 为直径的圆上时，求直线 $\text{[math]}$ 的斜率．

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山东省淄博市2021届高三数学二模试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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