北京市首都师范大学附属实验学校2020-2021学年九年级上学期数学第二次月考试卷

1. 抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴是直线（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 下面是同学们利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A . B . C . D .

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3. 若将抛物线y=- $\text{[math]}$ x²先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图，一块含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转到 $\text{[math]}$ 的位置，当点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在同一条直线上时，三角板 $\text{[math]}$ 的旋转角度是（）

A . 150° B . 120° C . 60° D . 30°

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5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A= $\text{[math]}$ ，则∠BOC的大小为（）

A . 40° B . 30° C . 80° D . 100°

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6. 将二次函数y＝x²﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）²+k的形式为（　　）

A . y＝（x﹣4）²+1 B . y＝（x﹣4）²﹣3 C . y＝（x﹣2）²﹣3 D . y＝（x+2）²﹣3

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7. 方程 $\text{[math]}$ 的根的情况是（）

A . 有两个不相等的实数根 B . 有两个相等的实数根 C . 无实数根 D . 只有一个实数根

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8. 一元二次方程 $\text{[math]}$ 的解为（）

A . x=3 B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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9. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　）

A . a＞0，b＞0，c＞0 B . a＜0，b＞0，c＞0 C . a＜0，b＞0，c＜0 D . a＜0，b＜0，c＞0

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10. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离 $\text{[math]}$ （单位：m）近似满足函数关系 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．下图记录了某运动员起跳后的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 若代数式 $\text{[math]}$ 有意义，则实数x的取值范围是．

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12. 点 $\text{[math]}$ 关于原点的对称点的坐标为．

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13. 如图，在平面直角坐标系xOy中， △OCD可以看成是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△OCD的过程．

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14. 如图，在半径为10cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离OC为6cm，则弦AB的长为cm．

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15. 若二次函数y＝mx²+2x+1的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是．

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16. 二次函数 $\text{[math]}$ 的对称轴是；若点A（-2，y₁）， B（1，y₂），则y₁ y₂ ．（用＞，＜，＝填写）

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17. 二次函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，由图象可知，方程 $\text{[math]}$ 的解为；不等式 $\text{[math]}$ 的解集为．

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18. 如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序．

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19. 计算： $\text{[math]}$

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20. 解一元二次方程： $\text{[math]}$ ．

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21. 二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y的对应值如下表：

x	…	-3	-2	-1	0	1	2	…
y	…	0	-3	-4	-3	m	5	…

（1）直接写出表格当中的m值：

（2）求这个二次函数的表达式；

（3）在图中画出这个二次函数的图象．

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22. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

（1）求证：四边形OEFG是矩形；

（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

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23. 已知：如图，△ABC为等边三角形，过A作AD⊥BC于D ，过B作BE⊥AC于E ，交AD于O ．到O点距离等于都等于OA的所有点组成图形G ．

（1）按要求画出图形G；

（2）连接CO ，求证：∠AOB=∠COB=∠AOC ．

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24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当m=1时，求线段AB上整点的个数；

②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．

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25. 在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D ， AE⊥BC于点E ，连接DE ．

（1）如图1，当△ABC为锐角三角形时，
①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；

②用等式表示线段AE ， CE ， DE的数量关系，并证明；

（2）如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE ， CE ， DE的数量关系．

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26. 对于△ABC及其边上的点P ，给出如下定义：如果点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，……， $\text{[math]}$ 都在△ABC的边上，且 $\text{[math]}$ ，那么称点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，……， $\text{[math]}$ 为△ABC关于点P的等距点，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，……， $\text{[math]}$ 为△ABC关于点P的等距线段.

（1）如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC ，点P是BC的中点.

点B ， C△ABC关于点P的等距点，线段PA ， PB△ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）

（2） △ABC关于点P的两个等距点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在边AB ， AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（3） △ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C ， D是△ABC关于点P的等距点，且PC=1，求线段DC的长；

（4）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°.点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C.若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 长的取值范围.（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）

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北京市首都师范大学附属实验学校2020-2021学年九年级上学期数学第二次月考试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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一、单选题

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