广东省汕头市金山中学2021届高三上学期数学联考试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 将4名学生分别安排甲、乙、丙三个地方参加实践活动，每个地方至少安排一名学生，则不同的安排方案共有（）

A . 12 B . 18 C . 24 D . 36

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4. 某防疫站对学生进行身体健康调查，与采用分层抽样的办法抽取样本.某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学共有女生（）

A . 1030人 B . 97人 C . 950人 D . 970人

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5. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为（）

A . 41π B . 42π C . 43π D . 44π

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6. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： $\text{[math]}$ ，其中K为最大确诊病例数．当I( $\text{[math]}$ )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 $\text{[math]}$ 约为（）（ln19≈3）

A . 60 B . 63 C . 66 D . 69

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7. 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最小值为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值为（）

A . 4 B . 5 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的中心为原点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的焦点，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ E相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 9 B . 23 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（）

A . 收入最高值与收入最低值的比是 $\text{[math]}$ B . 结余最高的月份是7月 C . 1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D . 前6个月的平均收入为40万元

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11. 设随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）.对于不相等的实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 下列说法正确的是（）

A . 对于任意不相等的实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ； B . 对于任意的 $\text{[math]}$ 及任意不相等的实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ； C . 对于任意的 $\text{[math]}$ ，存在不相等的实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ； D . 对于任意的 $\text{[math]}$ ，存在不相等的实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .

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13. 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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14. 已知二项式 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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15. 正四棱锥 $\text{[math]}$ 底面边长为 $\text{[math]}$ ，高为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的中点，动点 $\text{[math]}$ 在四棱锥表面上运动，并且总保持 $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹的周长为．

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16. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若使 $\text{[math]}$ 恰为 $\text{[math]}$ 中的奇数项，则所有正整数 $\text{[math]}$ 组成的集合为．

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17. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，.求 $\text{[math]}$ .
从① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

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18. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，等比数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）设 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，求满足 $\text{[math]}$ 的最大正整数 $\text{[math]}$ .

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19. 我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能常见的口罩有 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ （分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒）两种，某口罩厂两条独立的生产线分别生产 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品，现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下：

总分	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	6	14	42	31	7
$\text{[math]}$	4	6	47	35	8

（1）试分别估计两种口罩的合格率；

（2）假设生产一个 $\text{[math]}$ 口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品，则亏损1元；生产一个 $\text{[math]}$ 口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在（1）的前提下，

①设 $\text{[math]}$ 为生产一个 $\text{[math]}$ 口罩和生产一个 $\text{[math]}$ 口罩所得利润的和，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；

②求生产4个 $\text{[math]}$ 口罩所得的利润不少于8元的概率

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20. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 是直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 为钝角三角形， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ .

（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若直线 $\text{[math]}$ 与底面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，是否存在点 $\text{[math]}$ 使得二面角 $\text{[math]}$ 余弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，确定点 $\text{[math]}$ 的位置，若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；

（2）若函数 $\text{[math]}$ 的图象与直线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的横坐标分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

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22. 已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上的任意一点，线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，记动点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ .

（1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）设 $\text{[math]}$ ，是分别过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的两条平行直线 $\text{[math]}$ 交曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两个不同的点， $\text{[math]}$ 交曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两个不同的点，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

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广东省汕头市金山中学2021届高三上学期数学联考试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、双空题

五、解答题

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