北京市朝阳区2019届高三文数5月二模试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$

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2. 复数 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . -1 B . 0 C . 1 D . $\text{[math]}$

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3. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算．根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示．执行该程序框图，输出s的值为（）

A . 4 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知平面向量 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的首项为 $\text{[math]}$ ，公差 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ 成等比数列” 是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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7. 已知函数 $\text{[math]}$ 若函数 $\text{[math]}$ 存在零点，则实数a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . （-∞，1） D . $\text{[math]}$

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8. 在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，E，F分别为线段CD和 $\text{[math]}$ 上的动点，且满足 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）

A . 有最小值 $\text{[math]}$ B . 有最大值 $\text{[math]}$ C . 为定值3 D . 为定值2

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9. 函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为.

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10. 已知点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ ；点 $\text{[math]}$ 到抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点的距离是.

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11. 圆 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离的最小值是.

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12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.

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13. 实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 能说明“若 $\text{[math]}$ 的最大值是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ”为假命题的一组 $\text{[math]}$ 值是.

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14. 设全集 $\text{[math]}$ ，非空集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足以下条件：
① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$

当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （填 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ），此时 $\text{[math]}$ 中元素个数为.

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15. 在等差数列 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .
（I）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（II）求 $\text{[math]}$ .

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16. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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17. 某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场由5名专家组成评委给每位参赛选手评分，场外观众也可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分需要综合考虑专家评分和观众评分.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表.另有约数万名场外观众参与评分，将观众评分按照 $\text{[math]}$ 分组，绘成频率分布直方图如下图.

（Ⅰ）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；

（Ⅱ）从现场专家中随机抽取2人，求其中评分高于9分的至少有1人的概率；

（Ⅲ）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分.

方案一：计算所有专家与观众评分的平均数 $\text{[math]}$ 作为该选手的最终得分；

方案二：分别计算专家评分的平均数 $\text{[math]}$ 和观众评分的平均数 $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 作为该选手最终得分.

请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系.

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18. 如图1，在直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ (如图2). $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；

（3）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由

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19. 已知椭圆 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（Ⅱ）设直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 且与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点.过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ .证明直线 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ 轴上的定点.

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20. 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（2）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（3）若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内有且只有一个极值点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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北京市朝阳区2019届高三文数5月二模试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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