北京市朝阳区2018届高三理数3月综合练习（一模）试卷

1. 已知全集为实数集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则在复平面内复数 $\text{[math]}$ 所对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），则 $\text{[math]}$ 的倾斜角大小为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知 $\text{[math]}$ 为非零向量，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角为锐角”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. 某单位安排甲、乙、丙、丁 $\text{[math]}$ 名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有 $\text{[math]}$ 人值班每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或 “节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）.今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：
甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；
丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”.
游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（）

A . 甲 B . 乙 C . 丙 D . 丁

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8. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则所有点 $\text{[math]}$ 构成的图形面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 执行如图所示的程序框图，若输入 $\text{[math]}$ ，则输出 $\text{[math]}$ 的值为．

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10. 若三个点 $\text{[math]}$ 中恰有两个点在双曲线 $\text{[math]}$ 上，则双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为．

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11. 函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的部分图象如图所示，则 $\text{[math]}$ ；函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的零点为．

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12. 已知点 $\text{[math]}$ 若点 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 面积的最小值为．

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13. 等比数列 $\text{[math]}$ 满足如下条件：① $\text{[math]}$ ②数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式．

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14. 已知 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 的最大值是；若函数 $\text{[math]}$ 的图象上有且只有两对点关于 $\text{[math]}$ 轴对称，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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15. 在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

（1）若ac=5，求 $\text{[math]}$ 的面积；

（2）若 $\text{[math]}$ 为锐角，求 $\text{[math]}$ 的值．

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16. 如图 $\text{[math]}$ ，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ ，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ （如图 $\text{[math]}$ ）.
图1 图2

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；

（3）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ?若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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17. 某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．

某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：

性别	选考方案确定情况	物理	化学	生物	历史	地理	政治
男生	选考方案确定的有8人	8	8	4	2	1	1
男生	选考方案待确定的有6人	4	3	0	1	0	0
女生	选考方案确定的有10人	8	9	6	3	3	1
女生	选考方案待确定的有6人	5	4	1	0	0	1

（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？

（2）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；

（3）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望 $\text{[math]}$ ．

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18. 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（2）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（3）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

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19. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且过点 $\text{[math]}$ .

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）过椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 过坐标原点且与直线 $\text{[math]}$ 的斜率互为相反数.若直线 $\text{[math]}$ 与椭圆交于 $\text{[math]}$ 两点且均不与点 $\text{[math]}$ 重合，设直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴所成的锐角为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴所成的锐角为 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系并加以证明.

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20. 已知集合 $\text{[math]}$ 是集合 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的一个含有 $\text{[math]}$ 个元素的子集.

（1）当 $\text{[math]}$ 时，
设 $\text{[math]}$
（i）写出方程 $\text{[math]}$ 的解 $\text{[math]}$ ；
（ii）若方程 $\text{[math]}$ 至少有三组不同的解，写出 $\text{[math]}$ 的所有可能取值.

（2）证明：对任意一个 $\text{[math]}$ ，存在正整数 $\text{[math]}$ 使得方程 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 至少有三组不同的解.

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北京市朝阳区2018届高三理数3月综合练习（一模）试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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