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题型：解答题题类：常考题难易度：普通

江苏省海安高级中学2018-2019学年高一上学期数学第一次月考试卷

定义在R上的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，对任意 $\text{[math]}$ R，均有 $\text{[math]}$ ．

（1）、求证： $\text{[math]}$ ；

（2）、求证：对任意 $\text{[math]}$ R，恒有 $\text{[math]}$ ；

（3）、求证： $\text{[math]}$ 是R上的增函数；

（4）、若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

举一反三

某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
(1)如果不超过200元，则不给予优惠；
(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是（）

某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．已知在过滤过程中废气中的污染物数量尸（单位：毫克／升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：P=P₀e^－kt ，（k，P₀均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%．那么，至少还需（）时间过滤才可以排放．

已知函数 $\text{[math]}$

（Ⅰ）证明： $\text{[math]}$ 对定义域内的所有 $\text{[math]}$ 都成立.

（Ⅱ）设函数 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值 .

某投资人欲将5百万元奖金投入甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入奖金t的关系式分别为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为常数且 $\text{[math]}$ .设对乙种产品投入奖金 $\text{[math]}$ 百万元，其中 $\text{[math]}$ ．

某人的月工资由基础工资和绩效工资组成2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的 $\text{[math]}$ 照此推算，此人2019年的年薪为{#blank#}1{#/blank#}万元(结果精确到 $\text{[math]}$ )

中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：①对于任意一个圆 $\text{[math]}$ ，其“优美函数”有无数个；②函数 $\text{[math]}$ 可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数 $\text{[math]}$ 可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数 $\text{[math]}$ 是“优美函数”的充要条件为函数 $\text{[math]}$ 的图象是中心对称图形．

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