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题型:解答题 题类:常考题 难易度:困难

人教版八年级数学上册 第十四章整式的乘法与因式分解 单元检测b卷

问题再现:

数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性,从而可以帮助我们快速解题.初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.

例如:利用图形的几何意义证明完全平方公式.

证明:将一个边长为a的正方形的边长增加b,形成两个矩形和两个正方形,如图1:

这个图形的面积可以表示成:

(a+b)2或  a2+2ab+b2

∴(a+b)2 =a2+2ab+b2

这就验证了两数和的完全平方公式.

类比解决:

①请你类比上述方法,利用图形的几何意义证明平方差公式.(要求画出图形并写出推理过程)

问题提出:如何利用图形几何意义的方法证明:13+23=32

如图2,A表示1个1×1的正方形,即:1×1×1=13

B表示1个2×2的正方形,C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形,因此:B、C、D就可以表示2个2×2的正方形,即:2×2×2=23

而A、B、C、D恰好可以拼成一个(1+2)×(1+2)的大正方形.

由此可得:13+23=(1+2)2=32

尝试解决:

②请你类比上述推导过程,利用图形的几何意义确定:13+23+33=  ▲   . (要求写出结论并构造图形写出推证过程).

问题拓广:

③请用上面的表示几何图形面积的方法探究:13+23+33+…+n3=  ▲   . (直接写出结论即可,不必写出解题过程)

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