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题型：解答题题类：难易度：困难

四川省2024-2025学年高二上学期12月学情检测数学试卷

法国数学家加斯帕尔·蒙日是18世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆C：. $\text{[math]}$ ，则称圆心在原点O，半径为 $\text{[math]}$ 的圆为“椭圆C的伴随圆 $\text{[math]}$ ”.已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的左焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在C上，且 $\text{[math]}$ .

（1）、求椭圆C的方程以及椭圆C的伴随圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）、将 $\text{[math]}$ 向上平移6个单位长度得到曲线 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，动点E在曲线 $\text{[math]}$ 上，探究：是否存在定点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为定值，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）、已知不过点A的直线l： $\text{[math]}$ 与椭圆C交于M，N两点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在直线AM，AN上，证明： $\text{[math]}$ .

举一反三

椭圆 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 关于原点的对称点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为其右焦点，若 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则该椭圆离心率的取值范围为 ( )

已知点P是椭圆 $\text{[math]}$ 上的一动点，F₁ ， F₂为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是 ∠F₁PF₂的角平分线上的一点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，求椭圆的方程．

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的一个焦点与抛物线y²=8x的焦点重合，点 $\text{[math]}$ 在C上．

椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为F₁ ， F₂ ，一条直线经过F₁与椭圆交于A，B两点，则△ABF₂ 的周长为（）

已知双曲线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线C交于不同的两点 $\text{[math]}$ .

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