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题型：解答题题类：难易度：普通

云南省保山市腾冲市第八中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

给定椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，我们称椭圆 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的“伴随椭圆”.已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右顶点， $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的上顶点，等腰 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，且顶角的余弦值为 $\text{[math]}$

（1）、求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）、 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上一点（非顶点），直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的“伴随椭圆”交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的“伴随椭圆”交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，证明： $\text{[math]}$ 为定值．

举一反三

已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 都在椭圆 $\text{[math]}$ 上，直线 $\text{[math]}$ 交x轴于点M．

如图所示，过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F作直线交C于A、B两点，过A、B分别向C的准线l作垂线，垂足为A′，B′，已知四边形AA′B′F与BB′A′F的面积分别为15和7，则△A′B′F的面积为{#blank#}1{#/blank#}．

已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的左焦点为 $\text{[math]}$ ，短轴的端点到右焦点的距离为 $\text{[math]}$ ．

已知椭圆和双曲线有相同的焦点 $\text{[math]}$ ，设点P是该椭圆和双曲线的一个公共点，且 $\text{[math]}$ ，若椭圆和双曲线的离心率分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

若椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的短轴长为{#blank#}1{#/blank#}．

已知双曲线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，两条渐近线的夹角为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交双曲线于 $\text{[math]}$ 两点.

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