- 二一组卷

题型：解决问题题类：难易度：普通

2024.9.22重庆市西南大学附属中学数学竞赛选拔

把1、2、3、4、5……10这10个正整数，按照一定的顺序填入从左到右分别标记为1到10的10个空位中，选中两个不同的空位记为“对”，如选中2号位和5号位，此时标号小的数位中的数，如果小于标号大的数位中的数，则称这是顺序对，否则称为逆序对。

（1）、10个位置会产生多少个“对”？

（2）、把1到10，按照1、3、5、7、9、2、4、6、8、10的顺序填入，一共有多少个顺序对？

（3）、有没有一种填数方法可以使得顺序对比逆序对恰好多偶数个？

举一反三

对任意一个三位数 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 满足各数位上的数宇互不相同，且都不为零，那么称这个数位 “相异数”，将一个 “相异数” 任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新位数的和与 111 的商记为 $\text{[math]}$ 。例如 $\text{[math]}$ ，对调百位与十位上的数字很到 213 ，对调百位与个位上的数宁得到321，对调十位与个位上的数字得到 132，这三个新三位数的和为 $\text{[math]}$ ，所以， $\text{[math]}$ 。

阅读材料，解决以下问题：

材料一：在研究数的整除时发现：能被5、25、125、625整除的数的特征是：分别看这个数的末一位、末两位、末三位、末四位即可。推广成一条结论：末n位能被5ⁿ整除的数，本身必能被5ⁿ整除；反过来，末n位不能被5ⁿ整除的数，本身必不能被5ⁿ整除。例如探究992250能否被25、625整除时，可按下列步骤计算：

∵25=5² ， 50÷25=2 是整数

∴992250能被25整除。

∵625=5⁴ ， 2250÷625=3.6不是整数

∴992250不能被625整除。

材料二：用奇偶位差法判断一个数能否被11这个数整除时，可把这个数的奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，看差能否被11整除。若差能披11整除，则原数能被 11整除，反之则不能。

如果一个数恰好等于它的所有因数(本身除外)相加之和，那么这个数就是“完美数”，例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数，因为6=1+2+3，恰好是所有因数之和，所以6就是“完美数”，下面的数中是“完美数”的是( )。