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题型：解答题题类：难易度：困难

湖北省部分学校2025届高三上学期第一次大联考（一模）数学试题

当一个函数值域内任意一个函数值 $\text{[math]}$ 都有且只有一个自变量 $\text{[math]}$ 与之对应时，可以把这个函数的函数值 $\text{[math]}$ 作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量 $\text{[math]}$ 作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数.例如，由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，通常用 $\text{[math]}$ 表示自变量，则写成 $\text{[math]}$ ，我们称 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为反函数.已知函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为反函数，若 $\text{[math]}$ 两点在曲线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 两点在曲线 $\text{[math]}$ 上，以 $\text{[math]}$ 四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线 $\text{[math]}$ 垂直，则我们称这个矩形为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的“关联矩形”.

（1）、若函数 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在曲线 $\text{[math]}$ 上.

（i）求曲线 $\text{[math]}$ 在点A处的切线方程；

（ii）求以点A为一个顶点的“关联矩形”的面积.

（2）、若函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S.证明： $\text{[math]}$ .（参考数据： $\text{[math]}$ ）

举一反三

给定y轴上的一点A（0，a）（a＞1），对于曲线y=| $\text{[math]}$ ﹣1|上的动点M（x，y）

（1）试求A，M两点之间距离|AM|（用x表示）；

（2）求|AM|的最小值（用a表示）．

已知函数y=f（x）与y=e^x互为反函数，函数y=g（x）的图象与y=f（x）图象关于x轴对称，若g（a）=1，则实数a的值为（）

函数y=f（x）导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）

设函数f（x）的图象关于原点对称，且存在反函数f^﹣¹（x）．若已知f（4）=2，则f^﹣¹（﹣2）={#blank#}1{#/blank#}．

在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）．坐标原点 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．

已知函数 $\text{[math]}$ 图象上的点 $\text{[math]}$ 都满足 $\text{[math]}$ ，则下列说法中正确的有（）

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