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题型：解答题题类：难易度：困难

广东省深圳市红山中学2024-2025学年高三上学期第一次考试数学试题（2024.8）

已知两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3．，动点M的轨迹为曲线C．

（1）、求曲线C的方程；

（2）、过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交曲线C于P、Q两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、BQ的斜率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

①证明： $\text{[math]}$ 为定值；

②若点Q关于x轴的对称点成点H，探究：是否存在直线l，使得 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

举一反三

若曲线C₁：y²=2px(p>0)的焦点F恰好是曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点，且C₁与C₂交点的连线过点F，则曲线C₂的离心率为( )

已知抛物线 $\text{[math]}$ ，的焦点为F，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线C交于A、B两点，则 $\text{[math]}$ ( )

点P是抛物线y²=4x上一动点，则点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值是（）

已知椭圆C_l的方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，椭圆C₂的短轴为C₁的长轴且离心率为 $\text{[math]}$ ．

（I）求椭圆C₂的方程；

（Ⅱ）如图，M、N分别为直线l与椭圆C_l、C₂的一个交点，P为椭圆C₂与y轴的交点，△PON面积为△POM面积的2倍，若直线l的方程为y=kx（k＞0），求k的值．

已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ， O为坐标原点，A为右顶点，P为双曲线左支上一点，若 $\text{[math]}$ 存在最小值为12a，则双曲线一三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值是（）

设 $\text{[math]}$ 是等腰三角形， $\text{[math]}$ ，则以A、B为焦点且过点C的双曲线的离心率为{#blank#}1{#/blank#}．

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