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题型：解答题题类：难易度：困难

浙江省温州市2024届高三第二次适应性考试数学试题

如图，对于曲线 $\text{[math]}$ ，存在圆 $\text{[math]}$ 满足如下条件：

①圆 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 有公共点 $\text{[math]}$ ，且圆心在曲线 $\text{[math]}$ 凹的一侧；

②圆 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处有相同的切线；

③曲线 $\text{[math]}$ 的导函数在点 $\text{[math]}$ 处的导数（即曲线 $\text{[math]}$ 的二阶导数）等于圆 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的二阶导数（已知圆 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的二阶导数等于 $\text{[math]}$ ）；

则称圆 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 点处的曲率圆，其半径 $\text{[math]}$ 称为曲率半径．

（1）、求抛物线 $\text{[math]}$ 在原点的曲率圆的方程；

（2）、求曲线 $\text{[math]}$ 的曲率半径的最小值；

（3）、若曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 处有相同的曲率半径，求证： $\text{[math]}$ ．

举一反三

若四个正数a，b，c，d成等差数列，x是a和d的等差中项，y是b和c的等比中项，则x和y的大小关系是( )

若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）

已知曲线 $\text{[math]}$ 在点(-1，a+2)处切线的斜率为8，a=（）

定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x₁ ， x₂（a＜x₁＜x₂＜b）满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x³﹣x²+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）

已知 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数）.

已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有且仅有4个零点，则（）

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