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题型：解答题题类：难易度：困难

上海市南洋模范中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为 $\text{[math]}$ .幂指函数在求导时，可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）、已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（2）、若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，研究函数 $\text{[math]}$ 的单调性；

（3）、已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均大于0，且 $\text{[math]}$ ，讨论 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小关系.

举一反三

函数f(x)＝e^xcosx的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为 (　　)

已知函数 $\text{[math]}$ ，其中a是实数，设A（x₁ ， f（x₁）），B（x₂ ， f（x₂））为该函数图象上的点，且x₁＜x₂ ．

已知函数 f（x）=e^x（e^x﹣a）﹣a²x．

已知函数f（x）=ax﹣lnx﹣1．

已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=﹣ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然对数的底数）．

（I）求实数b的值；

（II）求函数f（x）的单调区间；

（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[ $\text{[math]}$ ，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．

函数f（x）＝x³+x+1在点（1，3）为切点的切线方程为（）

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