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题型：解答题题类：难易度：困难

上海市南洋模范中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为 $\text{[math]}$ .幂指函数在求导时，可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）、已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（2）、若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，研究函数 $\text{[math]}$ 的单调性；

（3）、已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均大于0，且 $\text{[math]}$ ，讨论 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小关系.

举一反三

设函数f（x）= $\text{[math]}$ ﹣k（ $\text{[math]}$ +lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．

已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x²﹣10x的一个极值点．

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．

若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）

已知函数f（x）=e^x ， g（x）=mx²+ax+b，其中m，a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．

（I）函数h（x）=xf （x），当a=l，b=0时，若函数h（x）与g（x）具有相同的单调区间，求m的值；

（II）记F（x）=f（x）﹣g（x）．当a=2，m=0时，若函数F（x）在[﹣1，2]上存在两个不同的零点，求b的取值范围．

已知函数 $\text{[math]}$

已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 的导函数为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为（）

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