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题型：解决问题题类：难易度：困难

2023.7.27小学数学巴蜀中学小升初练习题

阅读下列材料并回答问题：

把单位 " 1 " 平均分成若干份，表示其中一份的数叫 “单位分数”，单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成若干个单位分数的和。

把一个真分数表示成两个（或几个）分数单数的和角分数的拆分：

如： $\text{[math]}$ ，

（1）、把 $\text{[math]}$ 写成两个单位分数之和。

（2）、研究真分数 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 是正整数)，由上知，对于某些 $\text{[math]}$ 的值，它可以写成两个单位分数之和，你还能找到多少个是能使真分数 $\text{[math]}$ 可以写成两个单位分数的和？请将部分的 $\text{[math]}$ 值写出：

（3）、学习上述知识，小明想继续研究是否的单位分数可以拆分为两个单位分数的和？

小明在研究单位分数 $\text{[math]}$ ：小明在研究单位分数： $\text{[math]}$ 小明在拆分单位分数的过程中发现，单位分数 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 是正整数 $\text{[math]}$ ，可拆分两个分母比 $\text{[math]}$ 大的单位分数，分别设为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ 正整数，并且小明发现了 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系（即用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ），并进行了严格证明，请你尝试找到并证明此关系。

举一反三

定义新运算：已知 $\text{[math]}$ △3= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ △2= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ 。求 $\text{[math]}$ △4- $\text{[math]}$ △4的值。

对自然数a、b规定运算★如下： a★b= $\text{[math]}$ ，则8★6的值为{#blank#}1{#/blank#}。

材料一：若一个四位数千位、百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c、d，则这个四位数可以表示为 $\text{[math]}$ 材料二：若一个四位数 abcd满足bc $\text{[math]}$ 我们就称这个四数是平方和数，如对于四位数6453， $\text{[math]}$ 所以6453是平方和数，当然3456 也是平方和数。

请根据以上信息完成下面问题：

定义：如果一个三位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足百位上的数字与个位上的数字的平均数等于十位上的数字，则称这个三位数为开合数．设 $\text{[math]}$ 为一个开合数，将 $\text{[math]}$ 的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数再与 $\text{[math]}$ 相加的和记为 $\text{[math]}$ ．例如： 852 是 “开合数”，则 $\text{[math]}$ ．

一个正整数的各位数字都相同，我们称这样的数为 “称心数”，如 $\text{[math]}$ ，对任意一个三位数 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为 “相异数”，将一个 “相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为 $\text{[math]}$ ，如 $\text{[math]}$ ，对调百位与十位上的数字得到 213 ，对调百位与个位上的数字得到 321 ，对调十位与个位上的数字得到 132 ，这三个新三位数的和 $\text{[math]}$ ．

图1中的每相邻两条线间，有从上至下的几条横线（即“桥”），这样就构成了“天梯”规定，运算符号“+、-、×、÷”在“天梯”的竖线与横线上运动，它们在运动过程中按自上而下，且逢“桥”必过的规则进行，最后运动到竖线下方的“O”中，将a、b、c、d、e连接起来，构成一个算式，例如，“+”号粮据规则就应该沿箭头方向运动，最后向下进入“O”中，其余3个运算符号分别按规则运动到“O”中后，就得到算式a÷b×c-d+e .

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