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题型：解决问题题类：难易度：困难

2022年重庆鲁能巴蜀中学(LNBS)入学数学真卷(二)

(定义新运算)一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n为“启航数”，将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n'。把n'放在n的后面组成第一个四位数，把 n放在n'的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为F(n) ，例如：n=23时，n'=32，F(23)= $\text{[math]}$ =-81。

（1）、计算F(42)=（）；若m为“启航数”，F(m)是一个完全平方数(能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数) ，求F(m)的值；

（2）、s、t为“启航数”，其中s=10a+b，t=10x+y(1≤b<a≤9，1≤x，y≤5且a，b，x，y均为整数)，规定：K(s，t)= $\text{[math]}$ ，若F(s)能被7整除，且F(s) +F(1) -81y= 162，求K(s，t)的最大值。

举一反三

一般情况下 $\text{[math]}$ 不成立，但有些数可以使得它成立，例如： $\text{[math]}$ 。我们称使得 $\text{[math]}$ 成立的一对数 $\text{[math]}$ 为“相伴数对”，记为 $\text{[math]}$

定义 $\text{[math]}$ ，其中符号 $\text{[math]}$ 表示x的小数部分，如 $\text{[math]}$ ，那么， 1.4 $\text{[math]}$ 3.2={#blank#}1{#/blank#}(结果用小数表示)

任何一个正整数n都可以进行这样的分解： n=p×q(p、 q是正整数，且p≤q)，如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p × q是n的最佳分解，并规定： F(n)= p/q，例如18可以分解成1× 18、2× 9或3 ×6，这时就有 $\text{[math]}$ ，给出下列关于F (n)的说法：

⑴F(2) = $\text{[math]}$ ；⑵F(24)= $\text{[math]}$ ；⑶F(27)= 3；⑷若n是一个完全平方数，则F(n)=1，其中正确的是{#blank#}1{#/blank#}。

对于一个四位自然数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数n为“平衡数”。对于一个“平衡数”，从于位数字开始顺次取出三个数字构成四个三位数，把这四个三位数的和与222的商记为F(n)。例如：1526，因为1+6-2+5，所以1526是一个 “平衡数”，从千位数字开始顺次取出三个数字构成的四个三位数分别为152、526、 261、615，这四个三位数的和为： 152+526+261+615=1554， 1154÷22=7，所以F(1526)=7。

规定m※n=3m-2n，已知X※(8※4)=40，那么X={#blank#}1{#/blank#}。

设 $\text{[math]}$ 表示两个不同的数，规定 $\text{[math]}$ 。求 $\text{[math]}$ {#blank#}1{#/blank#}。

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