- 二一组卷

题型：实践探究题题类：难易度：困难

湖南省长沙市重点学校2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题

我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点 $\text{[math]}$ ，如果满足 $\text{[math]}$ ，那么称 $\text{[math]}$ 两点互为“等差点”．

（1）、请判断在点 $\text{[math]}$ 中，有哪些点与点 $\text{[math]}$ 互为“等差点”？

（2）、已知点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数，且 $\text{[math]}$ ）上，且 $\text{[math]}$ 两点互为“等差点”．请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；

（3）、已知抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数且 $\text{[math]}$ ）的顶点为 $\text{[math]}$ 点，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 两点分别在抛物线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 上，如果 $\text{[math]}$ 两点互为“等差点”，且 $\text{[math]}$ 两点的横坐标是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根，求 $\text{[math]}$ 的值．

举一反三

已知关于x的一元二次方程x²﹣2 $\text{[math]}$ x+1=0的实数根是x₁、x₂ ，则代数式x₁²+x₂²﹣x₁x₂{#blank#}1{#/blank#}．

已知关于x的方程x²+mx﹣6=0的一个根为2，则m的值及另一个根是（）

如果点M(a+1，2-a)在第一象限内，则a的取值范围是{#blank#}1{#/blank#}

如果规定符号“*”的意义是 $\text{[math]}$ ，求2*（-3）*4的值．

已知正方形ABCD的边长为1，分别写出图①和②中点A，B，C，D的坐标.

数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E是边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 交正方形外角的平分线 $\text{[math]}$ 于点F．求证： $\text{[math]}$ ．（不需要证明）

经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路：如图5，取 $\text{[math]}$ 的中点H，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形，这时只需证 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等即可，在此基础上，同学们进行了进一步的探究：

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