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题型：解答题题类：模拟题难易度：普通

河南省济源（平顶山许昌市）2021届高三理数第二次质量检测试卷

2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人.2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．

（1）、求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数 $\text{[math]}$ 和样本方差 $\text{[math]}$ （同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；

（2）、由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 近似为样本平均数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 近似为样本方差 $\text{[math]}$ ．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求 $\text{[math]}$ ；

（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记 $\text{[math]}$ 表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求 $\text{[math]}$ （结果精确到0.001）以及 $\text{[math]}$ 的数学期望．

参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

举一反三

随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”（无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志）已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室，假设该品牌植物油每瓶含有机物A的概率为p（0＜p＜1），需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A，若化验结果呈阳性则含A，呈阴性则不含A．若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物A时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验．

微信运动和运动手环的普及，增强了人民运动的积极性，每天一万步称为一种健康时尚，某中学在全校范围内内积极倡导和督促师生开展“每天一万步”活动，经过几个月的扎实落地工作后，学校想了解全校师生每天一万步的情况，学校界定一人一天走路不足4千步为不健康生活方式，不少于16千步为超健康生活方式者，其他为一般生活方式者，学校委托数学组调查，数学组采用分层抽样的办法去估计全校师生的情况，结合实际及便于分层抽样，认定全校教师人数为200人，高一学生人数为700人，高二学生人数600人，高三学生人数500，从中抽取n人作为调查对象，得到了如图所示的这n人的频率分布直方图，这n人中有20人被学校界定为不健康生活方式者．

设随机变量 $\text{[math]}$ 服从二项分布，且期望 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则方差 $\text{[math]}$ 等于（）

某工厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量 $\text{[math]}$ 与尺寸 $\text{[math]}$ 之间满足关系式 $\text{[math]}$ 为大于 $\text{[math]}$ 的常数），现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：

对数据作了处理，相关统计量的值如下表：

参加2018年自治区第一次诊断性测试的10万名理科考生的数学成绩 $\text{[math]}$ 近似地服从正态分布 $\text{[math]}$ ，估计这些考生成绩落在 $\text{[math]}$ 的人数为（）

（附： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）

2018年双11当天，某购物平台的销售业绩高达2135亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次．

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