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题型：综合题题类：模拟题难易度：困难

江西省宜春高安市2020年中考数学二模试卷

定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做神奇四边形．顺次连接四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．

（1）、判断：

①在平行四边形、矩形、菱形中，一定是神奇四边形的是；

②命题：如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 则四边形 $\text{[math]}$ 是神奇四边形．此命题是（填“真”或“假”)命题；

③神奇四边形的中点四边形是

（2）、如图2，分别以 $\text{[math]}$ 的直角边 $\text{[math]}$ 和斜边 $\text{[math]}$ 为边向外作正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$

①求证：四边形 $\text{[math]}$ 是神奇四边形；

②若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

（3）、如图3，四边形 $\text{[math]}$ 是神奇四边形，若 $\text{[math]}$ 分别是方程 $\text{[math]}$ 的两根，求k的值．

举一反三

定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，∠ABC＝∠ADC＝90°，四边形ABCD是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC ．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的．如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB ，在AB同侧有∠ADB和∠ACB ，此时∠ADB＝∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共边BC ，在CB同侧有∠BAC和∠BDC ，此时∠BAC＝∠BDC ．

如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB ， CD交于点E、F ，连接BF交AC于点M ，连接DE ， BO ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则下列结论：①FB垂直平分OC；②四边形DEBF为菱形；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ．其中正确结论的个数是（）

如图1，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成两个小矩形，EF与GH交于点P，△GBF的周长为m.

如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE＝（）

如图，锐角∠BOC＝α，∠AOC是它的邻补角，AD $\text{[math]}$ OC ， OD平分∠AOC ， P为射线OC上一点（不含端点O），连接PD ，作∠DPE＝α，PE交直线AB于点E ．甲、乙、丙、丁四位同学都对这个问题进行了研究，并得出自己的结论．

甲：若点E与点O重合，四边形PEAD是菱形；

乙：若α＝60°，一定PD＝PE；

丙：若α≠60°，一定PD≠PE；

丁：若α＝80°，可能PD＝PE ．

下列判断正确的是（　　）

如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E在AB上，AE＝5，P是AD上一点，将矩形沿PE折叠，点A落在点 $\text{[math]}$ 处．连接AC ，与PE相交于点F ，设AP＝x ．

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