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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

北京首都师范大学附属实验学校2020-2021学年七年级上学期数学期中试卷

如图，设 A 是由n ´ n 个有理数组成的n 行n 列的数表，其中aij （i ， j = 1 ，2，3，， n）表示位于第i 行第 j 列的数，且aij 取值为 1 或-1 ．对于数表 A 给出如下定义：记 xi 为数表 A 的第i 行各数之积，yj 为数表 A 的第 j 列各数之积．令 S = （x1 + x2 +¼+ xn ） + （ y1 + y2 +¼+ yn ），将S 称为数表 A 的“积和”．

a11	a12	．．．	a1n
a21	a22	．．．	a2n
．．．	．．．	．．．	．．．
an1	an2	．．．	ann

（1）、当n = 4 时，对如下数表 A ，求该数表的“积和” S 的值；

1	1	-1	-1
1	-1	1	1
1	-1	-1	1
-1	-1	1	1

（2）、是否存在一个3´ 3 的数表 A ，使得该数表的“积和” S = 0 ？并说明理由；

（3）、当n = 10 时，直接写出数表 A 的“积和” S 的所有可能的取值．

举一反三

观察一串数：3，5，7，9，… …，第n个数可表示为（）

我们把分子为1的分数叫做单位分数，如 $\text{[math]}$ ，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如 $\text{[math]}$ 观察上述式子的规律：
（1）把 $\text{[math]}$ 写成两个单位分数之和
（2）把 $\text{[math]}$ 表示成两个单位分数之和(n为大于1的整数)。

一小球从距地面1m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．

找规律：﹣ $\text{[math]}$ ，2，﹣ $\text{[math]}$ ，8，﹣ $\text{[math]}$ ，18…，则第7个数为{#blank#}1{#/blank#}；第n个数为{#blank#}2{#/blank#}（n为正整数）

一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2018次刚好爬到数轴上的原点处，求小虫爬行的起始位置A点所表示的数{#blank#}1{#/blank#}.

观察下列各式：(1) $\text{[math]}$ ，(2) $\text{[math]}$ ，(3) $\text{[math]}$ ，…，请用你发现的规律写出第8个式子是{#blank#}1{#/blank#}.

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