- 二一组卷

题型：综合题题类：真题难易度：困难

山东省青岛市2020年中考数学试卷

实际问题：

某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？

问题建模：

从1，2，3，…，n（n为整数，且 $\text{[math]}$ ）这n个整数中任取 $\text{[math]}$ 个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？

模型探究：

我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．

（1）、探究一：

①从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？

表①

所取的2个整数	1，2	1，3，	2，3
2个整数之和	3	4	5

如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．

②从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？

表②

所取的2个整数	1，2	1，3，	1，4	2，3	2，4	3，4
2个整数之和	3	4	5	5	6	7

如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．

③从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．

④从1，2，3，…， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为整数，且 $\text{[math]}$ ）这 $\text{[math]}$ 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．

（2）、探究二：

①从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．

②从1，2，3，…， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为整数，且 $\text{[math]}$ ）这 $\text{[math]}$ 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．

（3）、探究三：

从1，2，3，…，n（n $\text{[math]}$ 为整数，且 $\text{[math]}$ ）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有种不同的结果．

（4）、归纳结论：

从1，2，3，…， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为整数，且 $\text{[math]}$ ）这 $\text{[math]}$ 个整数中任取 $\text{[math]}$ 个整数，这 $\text{[math]}$ 个整数之和共有种不同的结果．

（5）、问题解决：

从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有种不同的优惠金额．

（6）、拓展延伸：

从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）

（7）、从3，4，5，…， $\text{[math]}$ （n为整数，且 $\text{[math]}$ ）这 $\text{[math]}$ 个整数中任取 $\text{[math]}$ 个整数，这a个整数之和共有种不同的结果．

举一反三

有如下一串数：2，5，10，17，26，？，50．仔细观察后回答：缺少的数？是{#blank#}1{#/blank#} ．

先观察表格，再解决问题．

项数	第一项	前两项	前三项	前四项	前五项
式子①	1	1+2	1+2+3	1+2+3+4	1+2+3+4+5
式子②	1²	1²+2²	1²+2²+3²	1²+2²+3²+4²	1²+2²+3²+4²+5²
两个式子的比	1	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$