对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，其中m＜n，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称函数f（x）是区间[m，n]上的“保值函数”，区间[m，n]称为“保值区间”．

题型：解答题题类：模拟题难易度：普通

2017年上海市青浦区高考数学二模试卷

对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，其中m＜n，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．

则称函数f（x）是区间[m，n]上的“保值函数”，区间[m，n]称为“保值区间”．

（1）、求证：函数g（x）=x²﹣2x不是定义域[0，1]上的“保值函数”．

（2）、若函数f（x）=2+ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ （a∈R，a≠0）是区间[m，n]上的“保值函数”，求a的取值范围．

（3）、对（2）中函数f（x），若不等式|a²f（x）|≤2x对x≥1恒成立，求实数a的取值范围．

举一反三

已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（I）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（Ⅱ） $\text{[math]}$ ，使不等式 $\text{[math]}$ 成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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