设函数f（x）满足：①对任意实数m，n都有f（m+n）+f（m﹣n）=2f（m）⋅f（n）；②对任意m∈R，都有f（1+m）=f（1﹣m）恒成立；③f（x）不恒...

题型：解答题题类：常考题难易度：困难

2016-2017学年湖北省部分重点中学高一上学期期中数学试卷

设函数f（x）满足：

①对任意实数m，n都有f（m+n）+f（m﹣n）=2f（m）⋅f（n）；

②对任意m∈R，都有f（1+m）=f（1﹣m）恒成立；

③f（x）不恒为0，且当0＜x＜1时，f（x）＜1．

（1）、求f（0），f（1）的值；

（2）、判断函数f（x）的奇偶性，并给出你的证明；

（3）、定义：“若存在非零常数T，使得对函数g（x）定义域中的任意一个x，均有g（x+T）=g（x），则称g（x）为以T为周期的周期函数”．试证明：函数f（x）为周期函数，并求出 $\text{[math]}$ 的值．

举一反三

函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，且对任意 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，

(Ⅰ)证明 $\text{[math]}$ 是奇函数；

(Ⅱ)证明 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是减函数；

(III)若 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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